Trygonometryczne wzory redukcyjne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Wzory redukcyjne – wzory pozwalające sprowadzić obliczanie wartości funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta skierowanego do obliczenia wartości funkcji dla kąta ostrego, a dalej dla kąta o mierze z zakresu od 0° do 45°.

W poniższych wzorach używana jest miara łukowa kąta. Korzystając z miary stopniowej należy w poniższych wzorach podstawić 180° w miejsce π.

Sinus i cosinus[edytuj | edytuj kod]

\sin \left(-\alpha\right)=-\sin \alpha \, \cos \left(-\alpha\right)= \cos \alpha \,
\sin \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos \alpha \cos \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin \alpha
\sin \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=\cos \alpha \cos \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin \alpha
\sin \left(\pi-\alpha\right)=\sin \alpha \cos \left(\pi-\alpha\right)=-\cos \alpha
\sin \left(\pi+\alpha\right)=-\sin \alpha \cos \left(\pi+\alpha\right)=-\cos \alpha
\sin \left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=-\cos \alpha \cos \left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=-\sin \alpha
\sin \left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=-\cos \alpha \cos \left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=\sin \alpha
\sin \left(2\pi-\alpha\right)=-\sin \alpha \cos \left(2\pi-\alpha\right)=\cos \alpha
\sin \left(2\pi+\alpha\right)=\sin \alpha \cos \left(2\pi+\alpha\right)=\cos \alpha

Tangens i cotangens[edytuj | edytuj kod]

\mathrm{tg} (-\alpha)=-\mathrm{tg}\ \alpha \mathrm{ctg} (-\alpha)=-\mathrm{ctg}\ \alpha
\mathrm{tg}\ \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\mathrm{ctg}\ \alpha \mathrm{ctg} \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\mathrm{tg}\ \alpha
\mathrm{tg}\ \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\mathrm{ctg}\ \alpha \mathrm{ctg} \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\mathrm{tg}\ \alpha
\mathrm{tg}\ \left(\pi-\alpha\right)=-\mathrm{tg}\ \alpha \mathrm{ctg} \left(\pi-\alpha\right)=-\mathrm{ctg}\ \alpha
\mathrm{tg}\ \left(\pi+\alpha\right)=\mathrm{tg}\ \alpha \mathrm{ctg} \left(\pi+\alpha\right)=\mathrm{ctg}\ \alpha

Podawanie wzorów typu \mathrm{tg}\ \left( \frac{3\pi}{2}+\alpha\right) =-\mathrm{ctg} \alpha nie jest potrzebne, bo okresem funkcji tangens i cotangens jest π.

Wzory redukcyjne można wywieść z symetrii wykresów odpowiednich funkcji trygonometrycznych. Mianowicie, wykres funkcji sinus jest środkowo symetryczny względem dowolnego punktu osi OX o współrzędnej postaci kπ i osiowo symetryczny względem dowolnej prostej o równaniu x = π/2 + kπ. Dla cosinusa odpowiednie symetrie wypadają dla x =π/2 + kπ oraz x = kπ. Dla tangensa i cotangensa mamy jedynie symetrie środkowe odpowiednio względem punktów x=kπ oraz x=π/2 + kπ.

Interpretacja na wykresie[edytuj | edytuj kod]

Wykresy pozwalają też na wyobrażenie sobie (i szybkie odtworzenie w pamięci lub na kartce) wzorów redukcyjnych.

1. W tym celu trzeba tylko zapamiętać jak wyglądają wykresy funkcji trygonometrycznych. Następnie przekształcamy wykres tej funkcji, którą mamy obliczyć:

  • jeśli w argumencie jest (x+\alpha)\ gdzie \alpha\ jest równe np. \frac{\pi}{2}, \pi\ , \frac{3}{2}\pi, lub 2\pi\ , to przesuwamy wykres odpowiedniej funkcji o \alpha\ w lewo.
  • jeśli w argumencie jest (x-\alpha)\ to przesuwamy wykres o \alpha\ w prawo.
  • jeśli w argumencie jest (\alpha-x)\ to przesuwamy wykres o \alpha\ w lewo i odbijamy wykres symetrycznie względem osi OY.

2. Jeśli przed funkcją stoi minus, odbijamy wykres względem osi OX.

3. Na koniec spoglądamy na powstały wykres w miejscu, w którym przecina oś OY:

  • Jeśli przecina ją w punkcie y=1\ , to wynikiem jest \cos (x)\
  • Jeśli przecina ją w punkcie y=-1\ , to wynikiem jest -\cos (x)\
  • Jeśli przecina ją w środku układu współrzędnych i rośnie, to wynikiem jest \sin(x)\ (gdy przekształcaliśmy sinus lub cosinus) lub \operatorname{tg}(x)\ (gdy przekształcaliśmy tangens lub cotangens)
  • Jeśli przecina ją w środku układu współrzędnych i maleje, to wynikiem jest -\sin(x)\ (gdy przekształcaliśmy sinus lub cosinus) lub -\operatorname{tg}(x)\ (gdy przekształcaliśmy tangens lub cotangens)
  • Jeśli w ogóle nie przecina osi OY, a w przedziale od 0 do \pi\ rośnie, to wynikiem jest \operatorname{ctg}(x)\
  • Jeśli w ogóle nie przecina osi OY, a w przedziale od 0 do \pi\ maleje, to wynikiem jest -\operatorname{ctg}(x)\

Przykłady zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Dla odmiany użyta zostanie miara kątowa. Należy pamiętać, że funkcje trygonometryczne są okresowe – jeżeli miara kąta przekracza 360° można wyodrębnić z niej wielokrotność 360° i przeprowadzać obliczenia dla pozostałej części.

\sin 135^{\circ} = \sin (90^{\circ} + 45^{\circ})=\cos 45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}

\cos 210^{\circ} = \cos (180^{\circ} + 30^{\circ})=-\cos 30^{\circ}=-\frac{\sqrt{3}}{2}

\mathrm{tg}\ 585^{\circ} = \mathrm{tg}\ (3\cdot 180^{\circ} + 45^{\circ})=\mathrm{tg}\ 45^{\circ}=1

\sin (-1035^{\circ})=-\sin 1035^{\circ}=-\sin (2\cdot 360^{\circ}+315^{\circ})=-\sin 315^{\circ}=-\sin (360^{\circ}-45^{\circ})=-(-\sin 45^{\circ})=\frac{\sqrt{2}}{2}

W obu ostatnich przykładach pominięto okres funkcji.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]