Twierdzenie Leibniza (o różniczkowaniu pod znakiem całki)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Twierdzenie Leibniza albo Leibniza o różniczkowaniu pod znakiem całki zwane często regułą Leibniza - twierdzenie mówiące o różniczkowaniu funkcji danej jako całka z parametrem.

Reguła Leibniza[edytuj | edytuj kod]

Wersja I - analiza klasyczna[edytuj | edytuj kod]

Niech f(x,y) będzie funkcją f: [a,b]\times[c,d] \ni (x,y) \mapsto \mathbb{R} . załóżmy, że f jest funkcją ciągła oraz że ma ona ciągłą pochodną cząstkową f^\prime_y=\frac{\partial f}{\partial y} na całej swojej dziedzinie.

Dla y\in (c,d) określmy I(y)=\int\limits_a^bf(x,y) \mathrm{d} x. Wówczas funkcja I(y) jest różniczkowalna oraz dla każdego y\in (c,d) spełniony jest wzór:

I^\prime(y)=\int\limits_a^bf^\prime_y(x,y) \mathrm{d} x.

Ogólniej, zakładając że dla każdego y funkcja jest ciągła na przedziale  [a(x),b(x)] gdzie funkcje a,b są ciągle różniczkowalne, mamy:

 {\mathrm{d} \over \mathrm{d} y} \int\limits^{b(y)}_{a(y)} \, f(x,y) \mathrm{d} x = \int\limits_{a(y)}^{b(y)} f^\prime_y(x,y) \mathrm{d} x + f(b(y),y) b^\prime (y) -f(a(y),y) a^\prime (y)

Wersja II - teoria miary[edytuj | edytuj kod]

Niech X będzie otwartym podzbiorem  \mathbb{R} , oraz  (\Omega, \mathcal{F} , \mu) będzie przestrzenią mierzalną. Załóżmy, że  f: X \times \Omega \mapsto \mathbb{R} spełnia poniższe warunki:

(1)  f(x,\omega) jest dla każdego  x \in X funkcją całkowalną względem  \omega

(2) dla każdego  x \in X pochodna  f_x istnieje  \mu -p.w.

(3) istnieje całkowalna funkcja  \theta: \Omega \mapsto \mathbb{R} dla której |f_x(x,\omega)| \leq \theta ( \omega)\quad \forall x \in X

Wtedy dla każdego x \in X

 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_{\Omega} \, f(x, \omega)\mu \{ \mathrm{d} \omega \} = \int_{\Omega}  \, f_x ( x, \omega) \mu \{ \mathrm{d} \omega \}

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Zauważmy, że iloraz różnicowy funkcji I dany jest przez

 {I(y+h)-I(y) \over h} =  {\int_a^b f(x,y+h)\,dx-\int_a^b f(x,y)\,dx \over h}=\int_a^b {f(x,y+h)-f(x,y)\over h}\,dx

(pamiętajmy, że całka jest operatorem liniowym). Teraz,

I'(y) =\lim_{h \rightarrow 0} {I(y+h)-I(y) \over h}=\lim_{h\rightarrow 0} \int_a^b {f(x,y+h)-f(x,y)\over h}\,dx

W związku z powyższym pozostaje kwestia, czy możemy przejść z granicą pod całkę.

Wersja I[edytuj | edytuj kod]

Zauważmy, że funkcja określona jest na zbiorze domkniętym i ograniczonym, co w  \mathbb{R}^n jest jednoznaczne ze zwartością zbioru. Z założenia istnienia pochodnej cząstkowej dla każdego ciągu  (a_n) \rightarrow 0 zachodzi zbieżność punktowa  \lim_{n \rightarrow \infty} {f(x,y+a_n)-f(x,y)\over a_n} dla każdego punktu. Na mocy zwartości dziedziny funkcji mamy zatem zbieżność jednostajną, co pozwala nam napisać:

 \lim_{n \rightarrow \infty}  \int_a^b  {f(x,y+a_n)-f(x,y)\over a_n}\,dx = \int_a^b \lim_{n \rightarrow \infty} {f(x,y+a_n)-f(x,y)\over a_n}\,dx = \int_a^b {\partial \over \partial y} f(x, y) \,dx.

Co na mocy dowolności ciągu  (a_n) oraz definicji Heinego granicy funkcji daje tezę podstawową. Weźmy teraz  a(x),b(x) ciągle różniczkowalne.  I_h	= \frac{1}{h} \left( \int^{b(y+h)}_{a(y+h)} \, f(x,y+h) dx -  \int^{b(y)}_{a(y)} \, f(x,y)dy \right) = = \frac{1}{h} \left( \int^{b(y+h)}_{b(y)} \, f(x,y+h) d x + \int^{b(y)}_{a(y)} \, f(x,y+h) d x + \int^{a(y)}_{a(y+h)} \, f(x,y+h) d x -  \int^{b(y)}_{a(y)} \, f(x,y) d x \right)=  = \int^{b(y)}_{a(y)} \,\frac{ f(x,y+h)-f(x,y)}{h} d x  + \frac{1}{h} \left( [b(y+h) - b(y) ]f(\xi_1^{h}, y+h) - [a(y+h) -a(y)]f(\xi_2^{h},y=h) \right)

Gdzie ostatnia równość zachodzi na mocy twierdzenia o wartości pośredniej dla całki z funkcji ciągłej  \xi_1^{h} \in [b(y),b(y+h)] \; \xi_2^{h} \in [a(y),a(y+h)] . Zatem, biorąc granicę, i korzystając z podstawowej wersji twierdzenia mamy:

 \lim_{h \rightarrow 0} I_h  = \lim_{h \rightarrow 0} \int^{b(y)}_{a(y)} \,\frac{ f(x,y+h)-f(x,y)}{h} d x + f(b(y), y) \lim_{h \rightarrow 0} \frac{b(y+h) - b(y)}{h}- f(a(y),y) \lim_{h \rightarrow 0} \frac{[a(y+h) -a(y)}{h} =
 = \int\limits_{a(y)}^{b(y)} f^\prime_y(x,y) \mathrm{d} x + f(b(y),y) b^\prime (y) -f(a(y),y) a^\prime (y)

Przy czym z ciągłości f mamy  \xi_1^{h} \rightarrow b(x) \; \xi_2^{h} \rightarrow a(x) \; .

Wersja II[edytuj | edytuj kod]

Korzystając z twierdzenia Lebesgue'a o zbieżności ograniczonej dla dowolnego ciągu dążącego do zera, oraz stosując definicję Heinego granicy funkcji jak powyżej otrzymujemy:

I'(y) = \int_a^b \lim_{h\rightarrow 0} {f(x,y+h)-f(x,y)\over h}\,dx = \int_a^b {\partial \over \partial y} f(x, y) \,dx.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy, t.2. Warszawa: PWN, 1966.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]