Zbiór miary zero

Z Wikipedii

Zbiory miary zero – w analizie matematycznej, teorii mnogości, a przede wszystkim w teorii miary podzbiory rozważanej przestrzeni, które są „małe” lub z punktu widzenia miary. Czasami stosuje się synonim zbiory zaniedbywalne.

Spis treści

1 Definicje
- 1.1 Przykład
2 Zbiory miary zero Lebesgue'a
3 Przykłady i własności
4 Zobacz też

[edytuj] Definicje

Niech $(X,\mathcal{F},\mu)$ będzie przestrzenią mierzalną z miarą. Podzbiór $A\subseteq X$ przestrzeni $X$ jest $μ$ -miary zero (lub krótko: miary zero, jeśli wspomniana miara wynika z kontekstu), jeśli $A\in {\mathcal F}$ i $μ(A) = 0$ .

Jeżeli miara nie jest sprecyzowana, to dla przestrzeni euklidesowej ${\mathbb R}^n$ przyjmuje się domyślnie miarę Lebesgue'a $λ n$ , z kolei gdy dyskutowana przestrzeń jest lokalnie zwartą grupą topologiczną, to na ogół mówi się o zbiorach miary zero względem (lewostronnie niezmienniczej) miary Haara.

Mówi się, że pewna własność zachodzi prawie wszędzie, jeżeli zbiór punktów nie mających tej własności jest zbiorem miary zero (względem ustalonej miary).

[edytuj] Przykład

Niech $f,\; f_n,\; g: \mathbb R \to \mathbb R$ na przestrzeni $(\mathbb R, \mathcal B(\mathbb R), \lambda)$ , wówczas

$f,\; g$ są równe prawie wszędzie wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór $\left\{x \in \mathbb R: f(x) \ne g(x)\right\}$ jest zbiorem miary zero,
ciąg $(f k) k$ jest prawie wszędzie zbieżny do $f$ wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór $\left\{x \in \mathbb R: \lim\limits_{k \to \infty}~f_k(x) \ne f(x)\right\}$ jest zbiorem miary zero,
$f$ jest ciągła prawie wszędzie wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór $\big\{x \in \mathbb R: f$ nie jest ciągła w punkcie $x\big\}$ jest zbiorem miary zero.

[edytuj] Zbiory miary zero Lebesgue'a

W przypadku miary Lebesgue'a, możemy zdefiniować zbiory miary zero bez odwoływania się bezpośrednio do miary.

Niech $A \subseteq \mathbb R$ . Powiemy, że $A$ jest zbiorem miary zero (w sensie Lebesgue'a), jeśli

dla każdego $\varepsilon>0$ można wybrać ciąg odcinków otwartych $I_1,\; I_2,\; I_3,\; \dots$ taki, że $A \subseteq \bigcup\limits_{n=1}^\infty I_i$ oraz $\sum\limits_{n=1}^\infty |I_n|<\varepsilon$ .

Powyżej, dla odcinka otwartego $I = (a,\; b)$ , długość odcinka $I$ to $| I | = b - a$ .

Jeśli rozważaną przestrzenią jest $\mathbb R^n$ , to zamiast odcinków używamy tzw. przedziałów wielowymiarowych, czyli kostek otwartych – zbiorów postaci $J_1 \times \dots \times J_n$ , gdzie $J_1,\; \dots,\; J_n$ są przedziałami otwartymi oraz $|J_1 \times \dots \times J_n| = |J_1| \cdot \dots \cdot |J_n|$ .

[edytuj] Przykłady i własności

Niech $\mathcal L$ będzie rodziną wszystkich podzbiorów prostej rzeczywistej, które są miary zero Lebesgue'a.

Trójkowy klasyczny zbiór Cantora jest zbiorem miary zero. Należy jednak podkreślić, że nie wszystkie zbiory Cantora mają tę własność – poprzez odpowiednie zmiany w konstrukcji (wyrzucanie odpowiednio mniejszych odcinków) możemy skonstruować zbiór Cantora dowolnej skończonej miary.
Prostą rzeczywistą $\mathbb R$ można przedstawić jako sumę dwóch zbiorów, $\mathbb R = K \cup L$ takich, że $L \in \mathcal L$ , a $K$ jest zbiorem pierwszej kategorii.

Aby podać przykład takich zbiorów $K,\; L$ ustalmy numerację $\langle q_n: n=1,\; 2,\; 3,\; \dots \rangle$ zbioru liczb wymiernych (przypomnijmy, że zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny). Dla $n,\; m \in \mathbb N$ , niech $I^n_m$ będzie odcinkiem otwartym o środku w $q n$ i długości $2 - (n + m)$ . Wówczas zbiór $L = \bigcap\limits_{m=1}^\infty~\bigcup\limits_{n=1}^\infty~I^n_m$ jest miary zero, ale jego dopełnienie $K = \mathbb R \setminus L$ jest pierwszej kategorii.
Inny przykład rozkładu jak powyżej jest dany przez liczby Liouville'a: zbiór liczb Liouville'a jest miary zero na prostej, a jego dopełnienie jest zbiorem pierwszej kategorii.
$\mathcal L$ jest σ-ideałem podzbiorów prostej. Zawiera on wszystkie zbiory jednopunktowe, a więc także i wszystkie zbiory przeliczalne.
Każdy zbiór z $\mathcal L$ zawarty jest w zbiorze typu G_δ należącym do $\mathcal L$ .
Każda rodzina rozłącznych borelowskich podzbiorów $\mathbb R$ , które nie są miary zero (w sensie Lebesgue'a) jest co najwyżej przeliczalna.
Konsekwencją twierdzenia Fubiniego jest, że zbiór mierzalny $A \subseteq \mathbb R \times \mathbb R$ jest miary zero (na płaszczyźnie) wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór

$\bigg\{x \in \mathbb R: \left\{y \in \mathbb R: (x,\; y) \in A\right\} \mbox{nie jest miary zero}\bigg\}$