Całka Riemanna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Całka jako „zorientowane pole pod wykresem”: wartością całki z rzeczywistej funkcji \scriptstyle f na przedziale \scriptstyle [a, b] jest pole powierzchni obszarów zaznaczonych na niebiesko pomniejszone o pole obszaru oznaczonego kolorem żółtym.

Całka Riemanna – konstrukcja analizy matematycznej przedstawiona przez niemieckiego matematyka Bernharda Riemanna w 1854 roku w jego pracy habilitacyjnej na Uniwersytecie w Getyndze pt. Ueber die Darstellbarkeit einer Funktion durch eine trigonometrische Reihe („O reprezentowalności funkcji przez szereg trygonometryczny”) jako pierwsza ścisła definicja całki. Istnieje również całkowicie równoważna całce Riemanna konstrukcja całki Darboux, pochodząca od francuskiego matematyka Gastona Darboux, który wprowadził ją w swojej pracy z 1870 roku zatytułowanej Sur les équations aux dérivées partielles du second ordre („O równaniach różniczkowych cząstkowych drugiego rzędu”) i uzasadnił jej równoważność z całką Riemanna w 1875 roku w pracy pt. Mémoire sur la theorie des fonctions discontinues („Rozprawa o teorii funkcji nieciągłych”).

Głównymi zaletami całki Riemanna są intuicyjność, klarowność definicji i stosunkowa łatwość wprowadzenia wystarczające częstokroć do większości zastosowań praktycznych; konstrukcja Darboux wymaga nieco mniejszej liczby pojęć niezbędnych do jej przeprowadzenia, przez co stanowi atrakcyjną alternatywę dla konstrukcji Riemanna. Do zasadniczych wad tych całek należy względnie mała ilość funkcji całkowalnych, czy konieczność zbieżności jednostajnej ciągu funkcji przy zamianie operatorów granicy i całki[a], co znacząco zawęża zakres zastosowań teoretycznych. Istnieje wiele uogólnień tego pojęcia mających na celu pokonanie różnorakich jego ograniczeń.

W swej interpretacji geometrycznej na płaszczyźnie całka to operator przypisujący danej rzeczywistej funkcji ograniczonej określonej na przedziale (rzeczywistym) pewną liczbę rzeczywistą, którą można rozumieć jako pole powierzchni między jej wykresem a osią odciętych (pole zorientowane: jego znak zależy od znaku wartości funkcji) – istnienie i wartość tej liczby jest równoważne istnieniu i wartości tzw. miary Jordana wspomnianego obszaru (zob. Związek z miarą Jordana). Sama całka Riemanna, podobnie jak miara Jordana, uogólnia się wprost na przestrzenie euklidesowe dowolnego wymiaru, co opisano w osobnej sekcji.

Konstrukcje[edytuj | edytuj kod]

Przykładowa suma Riemanna z zaznaczonym nieregularnym podziałem z punktami pośrednimi; podprzedział o największej średnicy zaznaczono kolorem czerwonym.
 Osobne artykuły: granica ciąguszereg.

Podział przedziału[edytuj | edytuj kod]

Podziałem \scriptstyle P przedziału \scriptstyle [a, b] nazywa się każdy (ściśle) rosnący ciąg skończony \scriptstyle (p_0, \dots, p_n) elementów nazywanych punktami podziału tego przedziału, w którym pierwszy i ostatni wyraz ciągu wskazują odpowiednio początek i koniec przedziału, tzn. \scriptstyle a = p_0 < p_1 < \dots < p_{n-1} < p_n = b. W każdym z podprzedziałów podziału \scriptstyle P można wyróżnić jeden element, nazywany punktem pośrednim: podział \scriptstyle P(q_1, \dots, q_n) z punktami pośrednimi \scriptstyle q_1, \dots, q_n przedziału \scriptstyle [a, b] można zdefiniować jako ciąg skończony \scriptstyle (p_0, \dots, p_n, q_1, \dots, q_n), dla którego \scriptstyle a = p_0 < p_1 < \dots < p_{n-1} < p_n = b oraz \scriptstyle q_i \in P_i dla \scriptstyle i = 1, \dots, n. Każda para „sąsiednich” punktów podziału \scriptstyle (p_{i-1}, p_i) wyznacza podprzedział \scriptstyle P_i = [p_{i-1}, p_i] o długości \scriptstyle |P_i| = \Delta p_i := p_i - p_{i-1} dla \scriptstyle i = 1, \dots n.

Podział \scriptstyle S rozdrabnia (lub zagęszcza) podział \scriptstyle P, jeżeli podział \scriptstyle P jest podciągiem podziału \scriptstyle S, tzn. dla każdego \scriptstyle i = 1, \dots, m można wybrać \scriptstyle j_i = 1, \dots, n tak, że \scriptstyle s_i = p_{j_i}. Podobnie definiuje się rozdrobnienie (bądź zagęszczenie) podziału \scriptstyle P(q_1, \dots, q_n) przez podział \scriptstyle S(t_1, \dots, t_n) z jedynym zastrzeżeniem, by tak stare, jak i nowe punkty pośrednie należały do nowych podprzedziałów; tzn. dla każdego \scriptstyle i = 1, \dots, m można było tak wybrać \scriptstyle j_i = 1, \dots, n, by \scriptstyle r_i = p_{j_i} oraz \scriptstyle t_i \in \{q_{j_i}, \dots, q_{j_{i+1}-1}\}.

Równoważnie zamiast rozdrobnień (zagęszczeń) podziałów można rozpatrywać tzw. „ciągi normalne” podziałów. Średnicą podziału \scriptstyle P nazywa się największą długość przedziału, \scriptstyle \mathrm{diam}\;P = \max_{i = 1, \dots, n} |P_i|. Ciąg podziałów \scriptstyle (P^k) nazywa się normalnym, jeżeli \scriptstyle \mathrm{diam}\;P^k \to 0 dla \scriptstyle k \to \infty.

Całka Darboux[edytuj | edytuj kod]

Sumy dolna i górna Darboux oznaczone odpowiednio kolorami zielonym i zielonym z lawendowym dla czterech podprzedziałów.

Niech dana będzie funkcja ograniczona \scriptstyle f\colon [a, b] \to \mathbb R. Kresy dolny i górny funkcji \scriptstyle f w danym podprzedziale \scriptstyle P_i podziału \scriptstyle P przedziału \scriptstyle [a, b] oznaczane będą odpowiednio symbolami

m_{f, P_i} = \inf_{x \in P_i} f(x) \quad\mbox{ oraz }\quad M_{f, P_i} = \sup_{x \in P_i} f(x);

różnicę tych liczb

\omega_{f, P_i} = M_{f, P_i} - m_{f, P_i}

nazywa się oscylacją funkcji \scriptstyle f na przedziale \scriptstyle P_i.

Odpowiednio sumą dolną i górną (Darboux) nazywa się liczby

L_{f, P} = \sum_{i = 1}^n m_{f, P_i} \cdot \Delta p_i \quad\mbox{ oraz }\quad U_{f, P} = \sum_{i = 1}^n M_{f, P_i} \cdot \Delta p_i .

Wielkości te umożliwiają zdefiniowanie całki dolnej i górnej (Darboux) funkcji \scriptstyle f jako odpowiednio

L_f = \sup\bigl\{L_{f, P}\colon P \mbox{ jest podziałem } [a, b]\bigr\}

oraz

U_f = \inf\bigl\{U_{f, P}\colon P \mbox{ jest podziałem } [a, b]\bigr\}.

O funkcji \scriptstyle f mówi się, że jest całkowalna w sensie Darboux lub krótko D-całkowalną, jeżeli \scriptstyle L_f = U_f; wówczas tę wspólną wartość \scriptstyle D_f całki dolnej i górnej Darboux nazywa się po prostu całką Darboux.

Całka Riemanna[edytuj | edytuj kod]

Przykład sum Riemanna przy wyborze punktu pośredniego w prawym końcu podprzedziału (niebieski), w wartości minimalnej (czerwony) i maksymalnej (zielony) funkcji w podprzedziale i lewego końca podprzedziału (żółty). Wartość wszystkich czterech przypadków zbliża się do 3,76 przy powiększaniu liczby podprzedziałów od 2 do 10 (w domyśle, również nieograniczenie).

Niech dana będzie funkcja ograniczona \scriptstyle f\colon [a, b] \to \mathbb R. Sumą częściową (Riemanna) nazywa się liczbę

R_{f, P(q_1, \dots, q_n)} = \sum_{i = 1}^n f(q_i) \cdot \Delta p_i.

Funkcję \scriptstyle f nazywa się całkowalną w sensie Riemanna lub krótko R-całkowalną, jeśli dla dowolnego ciągu normalnego \scriptstyle (P^k) podziałów przedziału \scriptstyle [a, b], istnieje (niezależna od wyboru punktów pośrednich) granica[b]

R_f = \lim_{k \to \infty} R_{f, P^k\left(q_1^k, \dots, q_{n_k}^k\right)}

nazywana wtedy całką Riemanna tej funkcji. Równoważnie: jeżeli istnieje taka liczba \scriptstyle R_f, że dla dowolnej liczby rzeczywistej \scriptstyle \varepsilon > 0 istnieje taka liczba rzeczywista \scriptstyle \delta > 0, że dla dowolnego podziału \scriptstyle P(q_1, \dots, q_n) o średnicy \scriptstyle \mathrm{diam}\; P(q_1, \dots, q_n) < \delta; bądź też w języku rozdrobnień: że dla dowolnej liczby rzeczywistej \scriptstyle \varepsilon > 0 istnieje taki podział \scriptstyle S(t_1, \dots, t_m) przedziału \scriptstyle [a, b], że dla każdego podziału \scriptstyle P(q_1, \dots, q_n) rozdrabniającego \scriptstyle S(t_1, \dots, t_m) zachodzi

\left|R_{f, P(q_1, \dots, q_n)} - R_f\right| < \varepsilon.

Funkcję \scriptstyle f nazywa się wtedy całkowalną w sensie Riemanna (R-całkowalną), a liczbę \scriptstyle R_f jej całką Riemanna.

Równoważność[edytuj | edytuj kod]

Po rozdrobnieniu podziału suma dolna zwiększa się, zaś suma górna zmniejsza się.

Jeżeli \scriptstyle P' jest rozdrobnieniem \scriptstyle P, to \scriptstyle U_{f, P} \geqslant U_{f, P'} oraz \scriptstyle L_{f, P} \leqslant L_{f, P'}. Jeżeli \scriptstyle P_1, P_2 są dwoma podziałami przedziału \scriptstyle [a, b], to istnieją ich rozdrobnienia \scriptstyle P_1' = P_2' (podział złożony z punktów \scriptstyle P_1 i \scriptstyle P_2), mamy więc \scriptstyle L_{f, P_1} \leqslant L_{f, P_1'} \leqslant U_{f, P_2'} \leqslant U_{f, P_2}, skąd \scriptstyle L_f \leqslant U_f.

Sumy Riemanna funkcji zawsze leżą między odpowiadającymi im dolnymi i górnymi sumami Darboux, tzn. dla podziału z punktami pośrednimi \scriptstyle P(q_1, \dots, q_n) i odpowiadającego mu podziału \scriptstyle P bez punktów pośrednich odcinka \scriptstyle [a, b] zachodzi

L_{f, P} \leqslant R_{f, P(q_1, \dots, q_n)} \leqslant U_{f, P};

więcej, są to kresy dolne i górne wartości \scriptstyle R_{f, P(q_1, \dots, q_n)} odpowiadającej podziałowi \scriptstyle P(q_1, \dots, q_n) z dowolnymi punktami pośrednimi[c].

Stąd jeżeli całka Darboux istnieje, tzn. \scriptstyle L_f = U_f, to istnieje również \scriptstyle R_f = D_f, tak więc

U_{f, P} - L_{f, P} = \sum_{i=1}^n \omega_{f, P_i} \cdot \Delta p_i < \varepsilon

dla dowolnego podziału \scriptstyle P, pociąga całkowalność w sensie Riemanna. Nietrudno zauważyć, że istnieje podział z punktami pośrednimi, dla którego całka Riemanna ma wartość dowolnie bliską górnej i dolnej całce Darboux, co oznacza że z istnienia całki Riemanna wynika istnienie całki Darboux.

Oznaczenia[edytuj | edytuj kod]

Różne warianty typograficzne znaku całki – od lewej do prawej: symbolu pochylonego w prawo używa się przede wszystkim w krajach anglojęzycznych, symbol prosty pojawia się w publikacjach Europy Środkowej, symbol pochylony w lewo należy do tradycji rosyjskiej; w polskiej literaturze można spotkać każdy z wariantów.

Symbol całki powstał z minuskuły ſ (tzw. „długiego s”)[d] używanej przez Gottfrieda Leibniza w łacińskim słowie summa, oznaczającym sumę, które pisał on ſumma. Dla funkcji \scriptstyle f\colon [a, b] \to \mathbb R całki Darboux górną \scriptstyle U_f i dolną \scriptstyle L_f oznacza się zwykle odpowiednio symbolami

\overline\int\!\!\!\!\!\!\!\int\limits_a^b f(x)\ \mathrm dx, \qquad \underline\int\!\!\!\!\!\!\!\int\limits_a^b f(x)\ \mathrm dx,

zaś samą całkę Darboux \scriptstyle D_f oraz całkę Riemanna \scriptstyle R_f dodając przed nimi pierwszą literę nazwiska w nawiasie,

(\mathrm D) \int\limits_a^b f(x)\ \mathrm dx, \qquad (\mathrm R) \int\limits_a^b f(x)\ \mathrm dx.

Ze względu na równoważność tych konstrukcji zwykle mówi się wyłącznie o całce Riemanna, przy czym zwykle pomija się oznaczenie literowe, jeżeli nie prowadzi to do nieporozumień:

\int\limits_a^b f(x)\ \mathrm dx.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Przedstawienie ciągu sum częściowych Riemanna; liczby w prawym górnym rogu są polami obszaru szarych prostokątów – można zauważyć, że zbiegają one do ustalonej liczby równej całce funkcji.

Niech dla dowolnej funkcji R-całkowalnej \scriptstyle f \colon [a, b] \to \mathbb R, gdzie \scriptstyle a \leqslant b, będą dane jej kresy dolny i górny oraz kres górny wartości bezwzględnej:

m_f = \inf_{x \in [a, b]} f(x), \qquad M_f = \sup_{x \in [a, b]} f(x) \quad\mbox{ oraz }\quad K_f = \sup_{x \in [a, b]} \bigl|f(x)\bigr|.

Wówczas[e]

m_f(b - a) \leqslant \int\limits_a^b f(x)\ \mathrm dx \leqslant M_f(b - a),

skąd też[f]

\left|\int\limits_a^b f(x)\ \mathrm dx\right| \leqslant K_f(b - a),

zaś dla funkcji \scriptstyle f spełniającej \scriptstyle f(x) \geqslant 0 dla wszystkich \scriptstyle x \in [a, b] zachodzi[g]

\int\limits_a^b f(x)\ \mathrm dx \geqslant 0.

Całka Riemanna jest operatorem liniowym na przestrzeni funkcji całkowalnych w sensie Riemanna: jeżeli \scriptstyle f, g są R-całkowalne oraz \scriptstyle c, d \in \mathbb R, to funkcja \scriptstyle cf + dg również jest całkowalna w sensie Riemanna i zachodzi[h]

\int\limits_a^b c f(x) + d g(x)\ \mathrm dx = c \int\limits_a^b f(x)\ \mathrm dx + d \int\limits_a^b g(x)\ \mathrm dx.

Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego[edytuj | edytuj kod]

Jeśli \scriptstyle f jest całkowalna w sensie Riemanna, to jest ona całkowalna na \scriptstyle [a, x] dla dowolnego \scriptstyle x \in [a, b], a funkcja \scriptstyle F\colon [a,b] \to \mathbb R dana wzorem

F(x) = \int\limits_a^x f(t)\; \mathrm dt

jest ciągła na \scriptstyle [a, b] i różniczkowalna w każdym punkcie ciągłości funkcji \scriptstyle f.

Twierdzenie Newtona-Leibniza[edytuj | edytuj kod]

Jeśli \scriptstyle f jest ciągła, a \scriptstyle F jest jej dowolną funkcją pierwotną, to zachodzi tzw. wzór Newtona-Leibniza,

\int\limits_a^b f(x) \mathrm dx = F(b) - F(a).

Charakteryzacja funkcji całkowalnych[edytuj | edytuj kod]

Z równoważności konstrukcji funkcja jest całkowalna w sensie Riemanna wtedy i tylko wtedy, gdy jest całkowalna w sensie Darboux; w tej części artykułu funkcje całkowalne na jeden z tych dwóch sposobów będą nazywane po prostu funkcjami całkowalnymi. Niech dana będzie funkcja \scriptstyle f\colon [a, b] \to \mathbb R. Każda funkcja ciągła \scriptstyle f jest całkowalna[i]; podobnie, gdy \scriptstyle f jest monotoniczna[j].

Dokładnego wskazania klasy funkcji całkowalnych można dokonać za pomocą teorii miary; nie mniej funkcje te można opisać definiując pojęcie nieodwołujące się do ogólnej teorii: zbiór \scriptstyle E \subseteq \mathbb R nazywa się zaniedbywalnym[k] wtedy i tylko wtedy, gdy można pokryć go (co najwyżej) przeliczalną liczbą dowolnie krótkich odcinków, tzn. dla każdego \scriptstyle \varepsilon > 0 istnieje (co najwyżej) przeliczalny ciąg przedziałów \scriptstyle (I_n) spełniający \scriptstyle E \subseteq \bigcup_n I_n oraz \scriptstyle \sum_n |I_n| < \varepsilon. Przykładami takich zbiorów są np. punkt, tj. zbiór jednoelementowy, dowolne zbiory skończone lub przeliczalne; kontrprzykładamiodcinek, czyli przedział, bądź dowolny zbiór otwarty.

Twierdzenie: Funkcja ograniczona określona na przedziale domkniętym jest całkowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest prawie wszędzie ciągła, tzn. zbiór jej nieciągłości jest zaniedbywalny.

Zatem jest ona tym bardziej całkowalna, gdy ma (co najwyżej) przeliczalny zbiór nieciągłości; w szczególności, gdy jest ciągła (zob. wyżej). Wprost stąd wynika, że wartość bezwzględna \scriptstyle |f| funkcji całkowalnej \scriptstyle f jest również całkowalna. Podobnie iloczyn (określony punktowo) \scriptstyle fg dwóch funkcji całkowalnych \scriptstyle f, g również jest funkcją całkowalną. Jeżeli ciąg funkcji całkowalnych \scriptstyle (f_n) jest jednostajnie zbieżny do funkcji \scriptstyle f, to jest ona całkowalna oraz

\int\limits_a^b f(x)\ \mathrm dx = \lim_{n \to \infty} \int\limits_a^b f_n(x)\ \mathrm dx.

Całka wielokrotna[edytuj | edytuj kod]

 Osobne artykuły: całka wielokrotnacałka iterowana.
„Objętość pod powierzchnią” jako uogólnienie intuicji „pola pod krzywą”.
Ta sekcja jest niekompletna. Jeśli możesz, rozbuduj ją.

Związek z miarą Jordana[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: miara Jordana.
Ta sekcja jest niekompletna. Jeśli możesz, rozbuduj ją.

Uogólnienia[edytuj | edytuj kod]

Różnica ideowa między całką Riemanna/Darboux a całką Lebesgue'a: w pierwszej wprowadza się podział dziedziny, w drugiej – przeciwdziedziny funkcji.

Jako pierwsza formalnie zdefiniowana, całka Riemanna jest prototypem wszystkich innych całek, choć konstrukcje wielu z nich są daleko bardziej ogólne, niż przedstawione wyżej; nie mniej zwykle wymaga się, by dane uogólnienie całki dawało dla funkcji całkowalnej w sensie Riemanna/Darboux ten sam wynik, co całka Riemanna/Darboux nazywana dalej po prostu całką Riemanna. Pełniejszą listę całek można znaleźć w osobnym artykule.

Całka Riemanna–Stieltjesa[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: całka Riemanna-Stieltjesa.

Zastąpienie w definicji całki Riemanna końców podprzedziałów danego podziału za pomocą ich obrazów w pewnej funkcji prowadzi do uogólnienia znanego jako całka Riemanna–Stieltjesa; dla dość szerokiej klasy funkcji jest ona równa całce Riemanna, jednak w ogólności może dawać ona różne od niej wyniki. Wykazuje ona duży związek z całkowaniem przez podstawienie znajdując zastosowanie w rachunku prawdopodobieństwa (zbudowanym w oparciu o tę całkę).

Całki Lebesgue'a, Daniella–Stone'a, Lebesgue'a–Stieltjesa[edytuj | edytuj kod]

Ważnym uogólnieniem całki Riemanna jest całka Lebesgue'a, która jest równoważna z tzw. całką Daniella–Stone'a: funkcja całkowalna w sensie Riemanna jest też całkowalna w sensie Lebesgue'a (Daniella–Stone'a), a ponadto wartości obu całek wtedy są równe. Przykładem funkcji, która jest całkowalna w sensie Lebesgue'a (Daniella–Stone'a), a nie jest całkowalna w sensie Riemanna jest funkcja Dirichleta. Dalszym uogólnieniem, łączącym w sobie zalety całki Lebesgue'a i Riemanna–Stieltjesa, jest całka Lebesgue'a–Stieltjesa nazywana również całką Lebesgue'a–Radona lub po prostu całką Radona.

Całka niewłaściwa pozwala na obliczenie pola pod wykresem funkcji nieograniczonej na przedziale ograniczonym i funkcji ograniczonej na przedziale nieograniczonym.

Całka niewłaściwa[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: całka niewłaściwa.

W każdej z powyższych konstrukcji problematyczne bywa całkowanie funkcji na przedziale otwartym, w szczególności gdy funkcja jest nieograniczona przy jednym z jego końców. Mówiąc o całce niewłaściwej, definiowanej jako granica całek określonych na przedziale domkniętym, którego jeden koniec dąży do końca przedziału otwartego, ma się zwykle na myśli uogólnienie całki Riemanna. Nie mniej możliwe jest analogiczne uogólnienie całki Lebesgue'a. Rozpatrywanie całki niewłaściwej dla opisanej niżej całki Henstocka–Kurzweila nie ma sensu, gdyż standardowa wersja tej całki daje ten sam wynik, o czym mówi twierdzenie Hake'a. Oddzielnym zagadnieniem całki niewłaściwe są tzw. przedziały niewłaściwe, tzn. których końce nie muszą być liczbami rzeczywistymi.

Całka Henstocka–Kurzweila[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: całka Henstocka-Kurzweila.

Całka Henstocka–Kurzweila znana również jako całka Denjoy, czy Perrona (albo Denjoy–Perrona) jest pewnym uogólnieniem całki Riemanna o konstrukcji znacząco od niej nieodbiegającej. W ogólności teoria Henstocka-Kurzweila umożliwia całkowanie wszystkich funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue'a oraz funkcji całkowalnych w sposób niewłaściwy w sensie Riemanna, co uważane jest za jej główną zaletę. Istnieje drobna modyfikacja całki Henstocka–Kurzweila, znana jako całka McShane'a, która jest równoważna konstrukcji Lebesgue'a – ma ona tym samym wszystkie jej zalety, a jej definicja nie wymaga przy tym ogólnego aparatu teorii miary.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]

Uwagi

  1. W przeciwieństwie do np. całki Lebesgue'a, czy całki Henstocka-Kurzweila (zob. Uogólnienia), które przy dość łagodnych założeniach dodatkowych umożliwiają zamianę granicy z całką przy zbieżności punktowej ciągu funkcyjnego (por. twierdzenia Lebesgue'a i lemat Fatou).
  2. Jeżeli dla każdego ciągu normalnego przedziałów odpowiednie sumy Riemanna są zbieżne, to są one zbieżne to jednej i tej samej granicy. Niech \scriptstyle (S^k) oraz \scriptstyle (U^k) będą dwoma normalnymi ciągami podziałów przedziału \scriptstyle [a,b]. Ciąg podziałów \scriptstyle (P^k) zdefiniowany jako \scriptstyle S^1, U^1, S^2, U^2, S^3, U^3, \dots jest normalny, a ponieważ funkcja jest całkowalna w sensie Riemanna, więc granica \scriptstyle \lim\limits_{k \to \infty} R_{f, P^k\left(q^k_1, \dots, q^k_{n_k}\right)} istnieje i nie zależy od wyboru punktów pośrednich. Zatem dla podciągów \scriptstyle \left(P^{2m}\right) i \scriptstyle \left(P^{2m+1}\right) granice muszą być takie same (dowolny podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny do tej samej granicy), więc \scriptstyle \lim\limits_{k \to \infty} S_{f, S_k} = \lim\limits_{k \to \infty} S_{f, U_k}.
  3. Niech \scriptstyle \varepsilon > 0; wyznaczając \scriptstyle q_i \in P_i tak, by \scriptstyle f(q_i) \geqslant M_{f, P_i} - \varepsilon/(b - a) otrzymuje się \scriptstyle R_{f, P(q_1, \dots, q_n)} = \sum_{i = 1}^n f(q_i) \cdot \Delta p_i \geqslant \sum_{i = 1}^n \left(M_{f, P_i} - \varepsilon/(b - a)\right) \cdot \Delta p_i = U_{f, P} - \varepsilon, co z dowolności \scriptstyle \varepsilon > 0 oraz oszacowania \scriptstyle U_{f, P} \geqslant R_{f, P(q_1, \dots, q_n)} pociąga tezę dla kresu górnego; podobnie dowodzi się, że \scriptstyle L_{f, P} jest kresem dolnym \scriptstyle R_{f, P(q_1, \dots, q_n)}.
  4. Zob. również tzw. „esz” ʃ.
  5. Dla dowolnego podziału \scriptstyle P(q_1, \dots, q_n) oraz dowolnej sumy \scriptstyle R_{f, P(q_1, \dots, q_n)} zachodzi \scriptstyle m_f \leqslant f(q_i) \leqslant M_f (\scriptstyle i = 1, \dots, n), zatem \scriptstyle m_f(b - a) \leqslant R_f \leqslant M_f(b - a), gdyż \scriptstyle b - a = \Delta p_1 + \dots + \Delta p_n.
  6. Wynika wprost z powyższego na mocy nierówności \scriptstyle -K_f \leqslant m_f \leqslant M_f \leqslant K_f.
  7. Wynika wprost z powyższego, gdyż \scriptstyle m_f \geqslant 0.
  8. Addytywność \scriptstyle R_{f \pm g} = R_f \pm R_g wynika stąd, iż dla ustalonego podziału \scriptstyle P(q_1, \dots, q_n) zachodzi równość sum częściowych \scriptstyle R_{f \pm g, P(q_1, \dots, q_n)} = R_{f, P(q_1, \dots, q_n)} \pm R_{g, P(q_1, \dots, q_n)}, która wraz ze zbieżnością sum po prawej stronie pociąga zbieżność sum po lewej stronie będących odpowiednio całką Riemanna z sumy funkcji \scriptstyle f \pm g oraz sumą całek Riemanna z funkcji \scriptstyle f i \scriptstyle g. Podobnie dowodzi się jednorodności \scriptstyle R_{cf} = cR_f.
  9. Funkcja \scriptstyle f jest jednostajnie ciągła (jako określona na przedziale domkniętym) wynika, że dla dowolnego \scriptstyle \varepsilon > 0 istnieje podział \scriptstyle P odcinka \scriptstyle [a, b] o oscylacjach \scriptstyle \omega_{f, P_i} < \varepsilon/(b - a) (\scriptstyle i = 1, \dots, n); stąd \scriptstyle U_{f, P} - L_{f, P} = \sum_{i = 1}^n \omega_{f, P_i} \cdot \Delta p_i < \varepsilon/(b - a) \sum_{i = 1}^n \Delta p_i = \varepsilon, zatem funkcja \scriptstyle f jest D-całkowalna.
  10. Niech dla ustalenia uwagi funkcja \scriptstyle f będzie niemalejąca; jeśli \scriptstyle P jest podziałem \scriptstyle [a, b] spełniającym \scriptstyle \left(f(b) - f(a)\right) \cdot \mathrm{diam}\; P \leqslant \varepsilon dla dowolnie wybranego \scriptstyle \varepsilon > 0, to \scriptstyle \omega_{f, P_i} < f(p_i) - f(p_{i-1}) (\scriptstyle i = 1, \dots, n), czyli \scriptstyle U_{f, P} - L_{f, P} = \sum_{i = 1}^n \omega_{f, P_i} \cdot \Delta p_i \leqslant \sum_{i = 1}^n \omega_{f, P_i} \cdot \mathrm{diam}\; P \leqslant \left(f(b) - f(a)\right) \cdot \mathrm{diam}\; P \leqslant \varepsilon, skąd wynika D-całkowalność funkcji \scriptstyle f.
  11. Dowodzi się, że zbiory zaniedbywalne w powyższym sensie odpowiadają dokładnie tzw. zbiorom miary Lebesgue'a zero, tzn. zbiorom, których miara Lebesgue'a jest równa zeru.