Całka Riemanna

Bernhard Riemann

Obszar "pod wykresem" funkcji f

Całka Riemanna to jedno z podstawowych pojęć w analizie matematycznej. Była ona wprowadzona przez niemieckiego matematyka Bernharda Riemanna jako pierwsza ścisła definicja całki.

Intuicja

Całka funkcji f na przedziale domkniętym $[a,b]$ jest to pewna liczba, która w przypadku funkcji dodatnich mierzy powierzchnię między wykresem funkcji a osią OX. Przypuśćmy, że $f:{\mathbb R}\longrightarrow [0,\infty)$ oraz $a<b\;$. Pytamy, jakie jest pole powierzchni figury $S=\{(x,y):a\leqslant x\leqslant b\ \wedge \ 0\leqslant y\leqslant f(x)\}$. Aby obliczyć to pole, będziemy przybliżać figurę $S$ za pomocą skończonej, choć dowolnie dużej, liczby prostokątów. Jeśli ten proces się uda, to otrzymaną wartość nazywamy całką Riemanna z funkcji $f$ na odcinku $[a,b]$ i oznaczamy przez

$\int\limits_{a}^{b} f(x)\, dx.$

Sedno definicji

Ciąg sum Riemanna. Liczby w prawym górnym rogu są polami obszaru szarych prostokątów i zbiegają one do całki funkcji.

Całkę funkcji f można opisać jako liczbę otrzymaną w wyniku następującego procesu:

1. Bierzemy pod uwagę dowolny podział przedziału $[a,b]$ punktami $t_0, t_1, \ldots, t_N$ na przedziały $[t_i, t_{i+1}]$; następnie w każdym z takich przedziałów obieramy dowolnie punkt $\xi_i$.
2. Obliczamy wszystkie iloczyny $f(\xi_i)(t_{i+1}-t_i).$
3. Sumujemy tak obliczone wielkości.
4. Przechodzimy do granicy ze względu na $N$ dążące do nieskończoności oraz ze względu na maksymalną długość przedziału $[t_i, t_{i+1}]$ dążącą do zera; jeśli granica ta istnieje, to ona właśnie jest szukaną całką funkcji $f$ w sensie Riemanna.

Łatwo zauważyć, że w przypadku funkcji o wartościach dodatnich, geometrycznie powyższa procedura oznacza przybliżanie pola powierzchni pod krzywą sumą pól pewnych prostokątów; jeśli przybliżenia te są zbieżne, to właśnie granicę owej sumy nazywamy całką Riemanna. Przedstawiony tu opis, a ściślej mówiąc przejście graniczne opisane w punkcie czwartym, wymaga pewnej formalizacji.

Definicja

• Podziałem z punktami pośrednimi odcinka $[a,b]$ nazwiemy każdy ciąg skończony $\langle t_0,\ldots,t_N,\xi_0,\ldots,\xi_{N-1}\rangle$ punktów z $[a,b],$ takich że $a=t_0<t_1<\ldots<t_N=b$ i dla każdego $i<N\ \ \ t_i\leqslant\xi_i\leqslant t_{i+1}.$
• Powiemy, że podział z punktami pośrednimi $\langle t_0,\ldots,t_N,\xi_0,\ldots,\xi_{N-1}\rangle$ rozdrabnia podział $\langle s_0,\ldots,s_M,\zeta_0,\ldots,\zeta_{M-1}\rangle,$ jeśli dla każdego $i\leqslant M$ można wybrać $j(i)\leqslant N$ tak, że $s_i=t_{j(i)}$ oraz $\zeta_i\in\{\xi_{j(i)},\ldots,\xi_{j(i+1)-1}\}.$
• Niech $f:[a,b]\longrightarrow {\mathbb R}$. Powiemy, że liczba $R$ jest całką Riemanna z funkcji $f,\,$ wtedy i tylko wtedy, gdy

dla każdego $\varepsilon>0$ istnieje podział z punktami pośrednimi $\langle s_0,\ldots,s_M,\zeta_0,\ldots,\zeta_{M-1}\rangle$ odcinka $[a,b],$ taki że dla każdego podziału $\langle t_0,\ldots,t_N,\xi_0,\ldots,\xi_{N-1}\rangle$ rozdrabniającego $\langle s_0,\ldots,s_M,\zeta_0,\ldots,\zeta_{M-1}\rangle$ mamy

$\left|R-\sum\limits_{i=0}^{N-1} f(\xi_i)\cdot (t_{i+1}-t_i)\right|<\varepsilon.$

Jeśli istnieje taka liczba $R,\,$ to powiemy, że funkcja $f\,$ jest całkowalna w sensie Riemanna, lub krótko, że jest $\mathcal R$-całkowalna. Liczbę tę oznaczamy wówczas

$R=\int\limits_a^bf(x)dx.$

Należy zwrócić uwagę, że przedstawiona powyżej definicja jest jedną z wielu spotykanych w literaturze formalizacji tego pojęcia. Różnice pomiędzy używanymi definicjami są zwykle wyłącznie natury technicznej. W dowodach twierdzeń, związanych z całkowalnością, często używa się następującego kryterium:

• Funkcja $f\colon [a,b]\to \mathbb{R}$ jest całkowalna w sensie Riemanna wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego $\varepsilon>0$ istnieje taki podział $\langle t_0,t_1,\ldots,t_n\rangle$ odcinka $[a,b]$, że

$\sum_{i=1}^n \left( \sup_{x\in [t_{i-1},t_i]} f(x) - \inf_{x\in [t_{i-1},t_i]} f(x)\right) (t_i - t_{i-1}) < \varepsilon.$

Własności

• Każda funkcja ograniczona o wartościach rzeczywistych, określona na $[a, b]$, jest całkowalna w sensie Riemanna w tym przedziale wtedy i tylko wtedy, gdy jest prawie wszędzie ciągła w $[a, b]$.
• Jeśli $f, g\colon [a, b] \to \mathbb R$ są całkowalne w sensie Riemanna, $\alpha, \beta \in \mathbb R,$ to funkcja $\alpha f + \beta g$ też jest całkowalna i

$\int\limits_a^b (\alpha f(x) + \beta g(x))\; dx = \alpha \int\limits_a^bf(x)\; dx + \beta \int\limits_a^bg(x)\; dx.$

• Jeśli $f\colon [a, b] \to \mathbb R$ jest całkowalna w sensie Riemanna, to jest ona całkowalna na każdym przedziale $[a, b]$ dla $x \in [a, b]$ oraz funkcja

$F\colon [a,b] \to \mathbb R,\; F(x)=\int\limits_a^x f(t)\; dt$

jest ciągła na $[a, b]$ i różniczkowalna w każdym punkcie ciągłości funkcji $f$ (zob. podstawowe twierdzenie rachunku całkowego).

Twierdzenie Newtona-Leibniza

Jeśli $f\colon [a, b] \to \mathbb R$ jest ciągła na przedziale $[a, b]$, a $F$ jest funkcją pierwotną funkcji $f$, to

$\int\limits_a^b f(x)dx=F(b)-F(a).$

Powyższy wzór nazywany jest wzorem Newtona-Leibniza. W pewnym sensie, uogólnieniem twierdzenia Newtona-Leibniza w analizie wielowymiarowej jest twierdzenie Stokesa.

Uogólnienia i rozszerzenia pojęcia całki Riemanna

Uogólnieniem pojęcia całki Riemanna jest całka Lebesgue'a w tym sensie, że jeśli funkcja jest całkowalna w sensie Riemanna, to jest też całkowalna w sensie Lebesgue'a, a ponadto wartości obu całek są równe. Przykładem funkcji, która jest całkowalna w sensie Lebesgue'a, a nie jest całkowalna w sensie Riemanna jest funkcja Dirichleta (w szczególności, obcięta do dowolnego przedziału domkniętego). Całka Lebesgue'a rozszerza pojęcie całkowalności na funkcje określone na szerszej klasie zbiorów.

Zobacz też

• podstawowe twierdzenie rachunku całkowego
• Bernhard Riemann