Twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej (zmajoryzowanej) – twierdzenie w analizie i teorii miary stwierdzające, że granica odpowiednio ograniczonego ciągu funkcji mierzalnych jest całkowalna i jej całka jest granicą całek z wyjściowych funkcji.

Nazwa twierdzenia została wprowadzona dla uhonorowania francuskiego matematyka Henri Lebesgue’a.

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Załóżmy że:

(a) (X,\mathcal{F},\mu) jest przestrzenią mierzalną z miarą,
(b) f_n:X\longrightarrow {\mathbb R} (dla n\in {\mathbb N}) jest funkcją mierzalną,
(c) dla pewnej funkcji całkowalnej g:X\longrightarrow {\mathbb R} mamy, że |f_n(x)|\leqslant g(x) dla wszystkich x\in X i n\in {\mathbb N},
(d) dla wszystkich x\in X istnieje granica \lim\limits_{n \to \infty} f_n(x); niech funkcja f:X\longrightarrow {\mathbb R} będzie zdefiniowana przez
f(x)=\lim\limits_{n \to \infty} f_n(x) dla x\in X.

Wówczas funkcja f jest całkowalna oraz

\lim\limits_{n\to\infty}\int |f_n-f|\ d\mu=0   i   \int f\ d\mu=\lim\limits_{n \to \infty} \int f_n\ d\mu.

Powyższe twierdzenie często formułuje się tak, że w (c) i (d) jest wymagana zbieżność prawie wszędzie, a nie dla każdego x.

Szkic dowodu[edytuj | edytuj kod]

Załóżmy że są spełnione warunki (a)-(d). Najpierw zauważamy, że f jest funkcją mierzalną, jako że granica zbieżnego ciągu funkcji mierzalnych jest mierzalna[1]. oraz |f(x)|\leqslant g(x) (dla wszystkich x\in X), a stąd f jest całkowalna. Zauważmy, że |f_n(x)-f(x)|\leqslant 2g(x) (dla każdego x), więc możemy zastosować lemat Fatou do funkcji h_n=2g-|f_n-f|\ .

Ponieważ 2g(x)=\lim\limits_{n\to\infty}h_n(x)=\liminf\limits_{n\to\infty}h_n(x), to otrzymujemy wówczas, że


\begin{align}
\int 2g\ d\mu&\leqslant\liminf\limits_{n\to\infty}\int h_n\ d\mu=\\
&=\liminf\limits_{n\to\infty}\int 2g-|f_n-f|\ d\mu=\\
&=\int 2g\ d\mu+\liminf\limits_{n\to\infty}\left(-\int |f_n-f|\ d\mu\right)=\\
&=\int 2g\ d\mu-\limsup\limits_{n\to\infty}\left(\int |f_n-f|\ d\mu\right)
\end{align}

Stąd już wnioskujemy że \limsup\limits_{n\to\infty}\left(\int |f_n-f|\ d\mu\right)=0, a zatem \lim\limits_{n\to\infty}\int |f_n-f|\ d\mu=0. Ponieważ \left|\int f_n-f\ d\mu\right|\leqslant\int |f_n-f|\ d\mu, to możemy też wywnioskować, że \int f\ d\mu=\lim\limits_{n \to \infty} \int f_n\ d\mu.

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Istotność założenia (c)

Rozważmy odcinek (0,1) wyposażony w miarą Lebesgue’a λ. Dla liczby naturalnej n\in {\mathbb N} zdefinujmy funkcję f_n:(0,1)\longrightarrow {\mathbb R} przez

 f_n(x) = \left\{\begin{matrix} n & \mbox{gdy} \quad x\in \left(0,\frac{1}{n}\right] \\ 0 & \mbox{gdy} \quad x\in \left(\frac{1}{n},1\right)\end{matrix}\right.

Wtedy f_n(x) \to 0 dla x \in (0,1), natomiast \int f_n\;d\lambda = n\lambda\left(\left(0,\frac{1}{n}\right)\right) = n \frac{1}{n} =1 \not\to 0=\int 0\;d\lambda.

A więc nie można pominąć założenia (c) o wspólnym ograniczeniu tych funkcji.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Walter Rudin: Analiza rzeczywista i zespolona. Wydawnictwo Naukowe PWN, s. 23,35.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]