Algorytm Floyda-Warshalla

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Algorytm Floyda-Warshalla
Rodzaj problem najkrótszej ścieżki
Struktura danych graf skierowany
Złożoność
Czasowa O(|V|3)
Pamięciowa O(|V|2)
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu teoria grafów.




Najważniejsze pojęcia
graf
drzewo
podgraf
cykl
klika
stopień wierzchołka
stopień grafu
dopełnienie grafu
obwód grafu
pokrycie wierzchołkowe
liczba chromatyczna
indeks chromatyczny
izomorfizm grafów
homeomorfizm grafów


Wybrane klasy grafów
graf pełny
graf spójny
drzewo
graf dwudzielny
graf regularny
graf eulerowski
graf hamiltonowski
graf planarny


Algorytmy grafowe
A*
Bellmana-Forda
Dijkstry
Fleury'ego
Floyda-Warshalla
Johnsona
Kruskala
Prima
przeszukiwanie grafu
wszerz
w głąb
najbliższego sąsiada


Zagadnienia przedstawiane jako problemy grafowe
problem komiwojażera
problem chińskiego listonosza
problem marszrutyzacji
problem kojarzenia małżeństw


Inne zagadnienia
kod Graya
diagram Hassego
kod Prüfera


Algorytm Floyda-Warshalla służy do znajdowania najkrótszych ścieżek pomiędzy wszystkimi parami wierzchołków w grafie ważonym.

Opis algorytmu[edytuj | edytuj kod]

Algorytm Floyda-Warshalla korzysta z tego, że jeśli najkrótsza ścieżka pomiędzy wierzchołkami v1 i v2 prowadzi przez wierzchołek u, to jest ona połączeniem najkrótszych ścieżek pomiędzy wierzchołkami v1 i u oraz u i v2. Na początku działania algorytmu inicjowana jest tablica długości najkrótszych ścieżek, tak że dla każdej pary wierzchołków (v1,v2) ich odległość wynosi:

d[v_1,\,v_2]=\begin{cases} 0, & \mbox{gdy}\ v_1=v_2\\ w(v_1,\,v_2), & \mbox{gdy}\ (v_1,\,v_2)\in E \\ +\infty, & \mbox{gdy}\ (v_1,\,v_2)\not\in E\end{cases}

Algorytm jest dynamiczny i w kolejnych krokach włącza do swoich obliczeń ścieżki przechodzące przez kolejne wierzchołki. Tak więc w k-tym kroku algorytm zajmie się sprawdzaniem dla każdej pary wierzchołków, czy nie da się skrócić (lub utworzyć) ścieżki pomiędzy nimi przechodzącej przez wierzchołek numer k (kolejność wierzchołków jest obojętna, ważne tylko, żeby nie zmieniała się w trakcie działania programu). Po wykonaniu |V| takich kroków długości najkrótszych ścieżek są już wyliczone.

Wydajność algorytmu[edytuj | edytuj kod]

  • Złożoność obliczeniowa: O(|V|^3)\
  • Złożoność pamięciowa: O(|V|^2)\

Zapis w pseudokodzie[edytuj | edytuj kod]

Dla grafu G i funkcji wagowej w otrzymamy tablicę d[v1][v2] odległości pomiędzy wierzchołkami v1 i v2.

Floyd-Warshall(G,w)
dla każdego wierzchołka v1 w V[G] wykonaj
  dla każdego wierzchołka v2 w V[G] wykonaj
    d[v1][v2] = nieskończone
    poprzednik[v1][v2] = niezdefiniowane
  d[v1][v1] = 0
dla każdej krawędzi (v1,v2) w E[G]
  d[v1][v2] = w(v1,v2)
  poprzednik[v1][v2] = v1
dla każdego wierzchołka u w V[G] wykonaj
  dla każdego wierzchołka v1 w V[G] wykonaj
    dla każdego wierzchołka v2 w V[G] wykonaj
      jeżeli d[v1][v2] > d[v1][u] + d[u][v2] to
        d[v1][v2] = d[v1][u] + d[u][v2]
        poprzednik[v1][v2] = poprzednik[u][v2]

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]