Graf dwudzielny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu teoria grafów.




Najważniejsze pojęcia
graf
drzewo
podgraf
cykl
klika
stopień wierzchołka
stopień grafu
dopełnienie grafu
obwód grafu
pokrycie wierzchołkowe
liczba chromatyczna
indeks chromatyczny
izomorfizm grafów
homeomorfizm grafów


Wybrane klasy grafów
graf pełny
graf spójny
drzewo
graf dwudzielny
graf regularny
graf eulerowski
graf hamiltonowski
graf planarny


Algorytmy grafowe
A*
Bellmana-Forda
Dijkstry
Fleury'ego
Floyda-Warshalla
Johnsona
Kruskala
Prima
przeszukiwanie grafu
wszerz
w głąb
najbliższego sąsiada


Zagadnienia przedstawiane jako problemy grafowe
problem komiwojażera
problem chińskiego listonosza
problem marszrutyzacji
problem kojarzenia małżeństw


Inne zagadnienia
kod Graya
diagram Hassego
kod Prüfera


Przykładowy graf dwudzielny
Pełny graf dwudzielny K3,4

Graf dwudzielnygraf, którego zbiór wierzchołków można podzielić na dwa rozłączne zbiory tak, że krawędzie nie łączą wierzchołków tego samego zbioru. Równoważnie: graf, który nie zawiera cykli nieparzystej długości. Jeśli pomiędzy wszystkimi parami wierzchołków należących do różnych zbiorów istnieje krawędź, graf taki nazywamy pełnym grafem dwudzielnym lub kliką dwudzielną i oznaczamy Kn,m gdzie n i m oznaczają liczności zbiorów wierzchołków[1].

Pojęcie można uogólnić na trzy (graf trójdzielny) i więcej zbiorów.

Definicja formalna[edytuj]

Grafem dwudzielnym nazywamy trójkę G(U, V, E) gdzie:

U={u1, u2, ..., un},
V={v1, v2, ..., vm}

i

.

U i V są zbiorami wierzchołków, E to zbiór krawędzi.

Warunki wystarczające dla grafu hamiltonowskiego[edytuj]

Sformułowane zostało twierdzenie, które pozwala określić, czy graf dwudzielny jest grafem hamiltonowskim.

Treść twierdzenia[edytuj]

Niech G będzie grafem dwudzielnym i niech:

będzie podziałem wierzchołków G.

Jeśli G ma cykl Hamiltona, to:

Jeśli G ma ścieżkę Hamiltona, to wartości i różnią się co najwyżej o 1.

Dla pełnych grafów dwudzielnych zachodzi też implikacja w lewo, tj. jeśli:

to G ma cykl Hamiltona.

Jeśli i różnią się co najwyżej o 1 to G ma ścieżkę Hamiltona.

Dowód[edytuj]

Niech n oznacza ilość wierzchołków grafu G.

  • Cykl Hamiltona możemy wyznaczyć biorąc na przemian wierzchołki leżące w zbiorach i . Jeśli:

wyznacza drogę zamkniętą przechodzącą dokładnie raz przez każdy wierzchołek, to

muszą należeć do jednego ze zbiorów podziału, bez straty ogólności załóżmy, że należą one do . Ponieważ istnieje krawędź , liczba n musi być parzysta, a więc wszystkie wierzchołki należą do , z czego wynika, że:

.

W przypadku ścieżki Hamiltona można zastosować podobne wyszukiwanie, zakończyć je na wierzchołku . W przypadku, gdy n nie jest parzyste, jeden ze zbiorów ma jeden dodatkowy wierzchołek.

Załóżmy G jest pełnym grafem dwudzielnym, tj.:

.

Jeżeli:

to dla każdego "przemiennego" indeksowania wierzchołków wyznacza cykl Hamiltona w G. Gdy jeden z podziałów, np. jest mniejszy wystarczy wyjść z niego przez .

Sprawdzenie dwudzielności[edytuj]

Aby przekonać się, czy dany graf jest dwudzielny, wystarczy użyć algorytmu przeszukiwania grafu (BFS lub DFS) i kolorować wierzchołki (początkowo o kolorze neutralnym) na dwa kolory tak, aby przechodzony wierzchołek miał kolor przeciwny względem poprzednika. Jeśli natrafimy na dwa wierzchołki o tym samym kolorze połączone krawędzią, to graf nie jest dwudzielny. W przeciwnym wypadku graf jest dwudzielny, podział zbioru wierzchołków na rozłączne podzbiory wyznaczają ich kolory.

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Reinhard Diestel: Graph Theory. Nowy Jork: 2000, s. 14-15. ISBN 0-387-95014-1.