Brachistochrona

Brachistochrona

Brachistochrona, krzywa najkrótszego spadku ( gr. βραχιστoς brachistos - „najkrótszy” + χρovoς chronos – „czas”) – krzywa, po której masa punktowa pod wpływem stałej siły (siły ciężkości) stacza się w możliwie najkrótszym czasie. Brachistochrona jest fragmentem cykloidy.

Zagadnienie brachistochrony było jednym z pierwszych, do rozwiązania którego wykorzystano rachunek wariacyjny. Postawiony w 1696 przez Jakoba Bernoulliego problem znalezienia krzywej najszybszego spadku został rozwiązany niezależnie przez Leibniza, Newtona, Johanna Bernoulliego oraz de l’Hospitala.

Rozwiązanie zagadnienia

Przy założeniu, że równaniem szukanej krzywej jest $y=y(x)$$y = y(x)$, punkty $A$$A$ i $B$$B$ można zapisać następująco:

$A=(a,y(a))$$A = (a,y(a))$ oraz $B=(b,y(b))$$B = (b,y(b))$.

Rodzina funkcji (funkcjonał) spełniających założenia problemu jest opisana jako:

$F(y(x))=\int \limits _{a}^{b}{\frac {ds}{v}}$$F(y(x)) = \int\limits_a^b \frac{ds}{v}$,

gdzie:

$ds={\sqrt {1+y'(x)^{2}}}dx$$ds = \sqrt{1+y'(x)^2}dx$ – długość krzywej

$v=y'(x)$$v = y'(x)$ – prędkość, którą można wyznaczyć z zasady zachowania energii:

${\textstyle {\frac {1}{2}}mv^{2}=mg(y(a)-y(x))}$${\textstyle \frac{1}{2}mv^2 = mg(y(a)-y(x))}$

stąd:

$v={\sqrt {2g(y(a)-y(x))}}$$v = \sqrt{2g(y(a)-y(x))}$.

Wyrażenia na $ds$$ds$ i $v$$v$ można teraz wstawić do wyjściowej całki:

$F(y(x))=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {\frac {1+y'(x)^{2}}{2g(y(a)-y(x))}}}dx$$F(y(x)) = \int\limits_a^b \sqrt{\frac{1+y'(x)^2}{2g(y(a)-y(x))}}dx$

Nie zmniejszając ogólności rozważań można przyjąć punkt $A$$A$ jako $A=(0,0)$$A = (0,0)$, co upraszcza dalsze rachunki. Dodatkowo można założyć również, że oś y skierowana jest do dołu. Zatem, aby rozwiązać postawione zagadnienie, należy wyznaczyć ekstremum (minimum) funkcjonału:

$F(y(x))=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {\frac {1+y'(x)^{2}}{2gy(x)}}}dx$$F(y(x)) = \int\limits_a^b \sqrt{\frac{1+y'(x)^2}{2gy(x)}}dx$.

Jako że zadana całka nie zależy jawnie od zmiennej $x$$x$ można zamiast równania Eulera zastosować tożsamość Beltramiego ($f-y'{\frac {\partial f}{\partial y'}}=C$$f - y'\frac{\partial f}{\partial y'}=C$):

${\sqrt {\frac {1+y'(x)^{2}}{2gy(x)}}}-{\sqrt {\frac {2gy(x)}{1+y'(x)^{2}}}}{\frac {y'(x)^{2}}{2gy(x)}}=C$$\sqrt{\frac{1+y'(x)^2}{2gy(x)}} - \sqrt{\frac{2gy(x)}{1+y'(x)^2}} \frac{y'(x)^2}{2gy(x)} = C$,

gdzie $C$$C$ oznacza pewną stałą. Po uproszczeniu powyższego wyrażenia otrzymuje się:

$y(x)(1+y'(x)^{2})={\frac {1}{2gC^{2}}}=k^{2}$$y(x)(1+y'(x)^2) = \frac{1}{2gC^2} = k^2$.

Jest to równanie różniczkowe, którego rozwiązaniem jest cykloida postaci:

$x(\theta )={\frac {1}{2}}k^{2}(\theta -\sin \theta )$$x(\theta )={\frac {1}{2}}k^{2}(\theta -\sin \theta )$

$y(\theta )={\frac {1}{2}}k^{2}(1-\cos \theta )$$y(\theta )={\frac {1}{2}}k^{2}(1-\cos \theta )$

Zobacz też

• rachunek wariacyjny
• tautochrona