Brachistochrona

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Brachistochrona

Brachistochrona, krzywa najkrótszego spadku ( gr. βραχιστoς brachistos - „najkrótszy” + χρovoς chronos – „czas”) – krzywa, po której masa punktowa pod wpływem stałej siły (siły ciężkości) stacza się w możliwie najkrótszym czasie. Brachistochrona jest fragmentem cykloidy.

Zagadnienie brachistochrony było jednym z pierwszych, do rozwiązania którego wykorzystano rachunek wariacyjny. Postawiony w 1696 przez Jakoba Bernoulliego problem znalezienia krzywej najszybszego spadku został rozwiązany niezależnie przez Leibniza, Newtona, Johanna Bernoulliego oraz de l’Hospitala.

Braquistócrona.gif

Rozwiązanie zagadnienia[edytuj]

Przy założeniu, że równaniem szukanej krzywej jest , punkty i można zapisać następująco:

oraz .

Rodzina funkcji (funkcjonał) spełniających założenia problemu jest opisana jako:

,

gdzie:

– długość krzywej
– prędkość, którą można wyznaczyć z zasady zachowania energii:

stąd:

.

Wyrażenia na i można teraz wstawić do wyjściowej całki:

Nie zmniejszając ogólności rozważań można przyjąć punkt jako , co upraszcza dalsze rachunki. Dodatkowo można założyć również, że oś y skierowana jest do dołu. Zatem, aby rozwiązać postawione zagadnienie, należy wyznaczyć ekstremum (minimum) funkcjonału:

.

Jako że zadana całka nie zależy jawnie od zmiennej można zamiast równania Eulera zastosować tożsamość Beltramiego ():

,

gdzie oznacza pewną stałą. Po uproszczeniu powyższego wyrażenia otrzymuje się:

.

Jest to równanie różniczkowe, którego rozwiązaniem jest cykloida postaci:

Zobacz też[edytuj]