Brachistochrona

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Brachistochrona

Brachistochrona, krzywa najkrótszego spadku (gr. βραχιστoς brachistos – „najkrótszy” + χρovoς chronos – „czas”) – krzywa, po której masa punktowa pod wpływem stałej siły (siły ciężkości) stacza się w możliwie najkrótszym czasie. Brachistochrona jest fragmentem cykloidy.

Zagadnienie brachistochrony było jednym z pierwszych, do rozwiązania którego wykorzystano rachunek wariacyjny. Postawiony w 1696 przez Johanna Bernoulliego problem znalezienia krzywej najszybszego spadku został rozwiązany niezależnie przez Leibniza, Newtona, Johanna Bernoulliego oraz de l’Hospitala.

Braquistócrona.gif

Rozwiązanie zagadnienia[edytuj | edytuj kod]

Przy założeniu, że równaniem szukanej krzywej jest punkty i można zapisać następująco:

oraz

Rodzina funkcji (funkcjonał) spełniających założenia problemu jest opisana jako:

gdzie:

– długość krzywej,
– prędkość, którą można wyznaczyć z zasady zachowania energii:

stąd:

Wyrażenia na i można teraz wstawić do wyjściowej całki:

Nie zmniejszając ogólności rozważań można przyjąć punkt jako co upraszcza dalsze rachunki. Dodatkowo można założyć również, że oś skierowana jest do dołu. Zatem aby rozwiązać postawione zagadnienie, należy wyznaczyć ekstremum (minimum) funkcjonału:

Jako że zadana całka nie zależy jawnie od zmiennej można zamiast równania Eulera zastosować tożsamość Beltramiego

gdzie oznacza pewną stałą. Po uproszczeniu powyższego wyrażenia otrzymuje się:

Jest to równanie różniczkowe, którego rozwiązaniem jest cykloida postaci:

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]