Brachistochrona

Brachistochrona, krzywa najkrótszego spadku (gr. βραχιστoς brachistos – „najkrótszy” + χρovoς chronos – „czas”) – krzywa, po której masa punktowa pod wpływem stałej siły (siły ciężkości) stacza się w możliwie najkrótszym czasie. Brachistochrona jest fragmentem cykloidy.

Zagadnienie brachistochrony było jednym z pierwszych, do rozwiązania którego wykorzystano rachunek wariacyjny. Postawiony w 1696 przez Johanna Bernoulliego problem znalezienia krzywej najszybszego spadku został rozwiązany niezależnie przez Leibniza, Newtona, Johanna Bernoulliego oraz de l’Hospitala.

Rozwiązanie zagadnienia[edytuj | edytuj kod]

Przy założeniu, że równaniem szukanej krzywej jest $y=y(x),$ punkty $A$ i $B$ można zapisać następująco:

A=(a,y(a))

oraz

B=(b,y(b)).

Rodzina funkcji (funkcjonał) spełniających założenia problemu jest opisana jako:

F(y(x))=\int \limits _{a}^{b}{\frac {ds}{v}},

gdzie:

ds={\sqrt {1+y'(x)^{2}}}dx

– długość krzywej,

v=y'(x)

– prędkość, którą można wyznaczyć z zasady zachowania energii:

{\frac {1}{2}}mv^{2}=mg(y(a)-y(x)),

stąd:

v={\sqrt {2g(y(a)-y(x))}}.

Wyrażenia na $ds$ i $v$ można teraz wstawić do wyjściowej całki:

F(y(x))=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {\frac {1+y'(x)^{2}}{2g(y(a)-y(x))}}}dx.

Nie zmniejszając ogólności rozważań można przyjąć punkt $A$ jako $A=(0,0),$ co upraszcza dalsze rachunki. Dodatkowo można założyć również, że oś $y$ skierowana jest do dołu. Zatem aby rozwiązać postawione zagadnienie, należy wyznaczyć ekstremum (minimum) funkcjonału:

F(y(x))=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {\frac {1+y'(x)^{2}}{2gy(x)}}}dx.

Jako że zadana całka nie zależy jawnie od zmiennej $x$ można zamiast równania Eulera zastosować tożsamość Beltramiego $(f-y'{\frac {\partial f}{\partial y'}}=C){:}$