Brachistochrona

Brachistochrona

Brachistochrona, krzywa najkrótszego spadku (gr. βραχιστoς brachistos – „najkrótszy” + χρovoς chronos – „czas”) – krzywa, po której masa punktowa pod wpływem stałej siły (siły ciężkości) stacza się w możliwie najkrótszym czasie. Brachistochrona jest fragmentem cykloidy.

Zagadnienie brachistochrony było jednym z pierwszych, do rozwiązania którego wykorzystano rachunek wariacyjny. Postawiony w 1696 przez Johanna Bernoulliego problem znalezienia krzywej najszybszego spadku został rozwiązany niezależnie przez Leibniza, Newtona, Johanna Bernoulliego oraz de l’Hospitala.

Rozwiązanie zagadnienia

Przy założeniu, że równaniem szukanej krzywej jest $y=y(x),$ punkty $A$ i $B$ można zapisać następująco:

$A=(a,y(a))$ oraz $B=(b,y(b)).$

Rodzina funkcji (funkcjonał) spełniających założenia problemu jest opisana jako:

$F(y(x))=\int \limits _{a}^{b}{\frac {ds}{v}},$

gdzie:

$ds={\sqrt {1+y'(x)^{2}}}dx$ – długość krzywej,

$v=y'(x)$ – prędkość, którą można wyznaczyć z zasady zachowania energii:

${\frac {1}{2}}mv^{2}=mg(y(a)-y(x)),$

stąd:

$v={\sqrt {2g(y(a)-y(x))}}.$

Wyrażenia na $ds$ i $v$ można teraz wstawić do wyjściowej całki:

$F(y(x))=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {\frac {1+y'(x)^{2}}{2g(y(a)-y(x))}}}dx.$

Nie zmniejszając ogólności rozważań można przyjąć punkt $A$ jako $A=(0,0),$ co upraszcza dalsze rachunki. Dodatkowo można założyć również, że oś $y$ skierowana jest do dołu. Zatem aby rozwiązać postawione zagadnienie, należy wyznaczyć ekstremum (minimum) funkcjonału:

$F(y(x))=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {\frac {1+y'(x)^{2}}{2gy(x)}}}dx.$

Jako że zadana całka nie zależy jawnie od zmiennej $x$ można zamiast równania Eulera zastosować tożsamość Beltramiego $(f-y'{\frac {\partial f}{\partial y'}}=C){:}$

${\sqrt {\frac {1+y'(x)^{2}}{2gy(x)}}}-{\sqrt {\frac {2gy(x)}{1+y'(x)^{2}}}}{\frac {y'(x)^{2}}{2gy(x)}}=C,$

gdzie $C$ oznacza pewną stałą. Po uproszczeniu powyższego wyrażenia otrzymuje się:

$y(x)(1+y'(x)^{2})={\frac {1}{2gC^{2}}}=k^{2}.$

Jest to równanie różniczkowe, którego rozwiązaniem jest cykloida postaci:

$x(\theta )={\frac {1}{2}}k^{2}(\theta -\sin \theta ),$

$y(\theta )={\frac {1}{2}}k^{2}(1-\cos \theta ).$

Zobacz też

• rachunek wariacyjny
• tautochrona