Brachistochrona, krzywa najkrótszego spadku ( gr. βραχιστoς brachistos - „najkrótszy” + χρovoς chronos – „czas”) – krzywa , po której masa punktowa pod wpływem stałej siły (siły ciężkości ) stacza się w możliwie najkrótszym czasie. Brachistochrona jest fragmentem cykloidy .
Zagadnienie brachistochrony było jednym z pierwszych, do rozwiązania którego wykorzystano rachunek wariacyjny . Postawiony w 1696 przez Johanna Bernoulliego problem znalezienia krzywej najszybszego spadku został rozwiązany niezależnie przez Leibniza , Newtona , Johanna Bernoulliego oraz de l’Hospitala .
Rozwiązanie zagadnienia [ edytuj ] Przy założeniu, że równaniem szukanej krzywej jest
y
=
y
(
x
)
{\displaystyle y=y(x)}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
A
=
(
a
,
y
(
a
)
)
{\displaystyle A=(a,y(a))}
B
=
(
b
,
y
(
b
)
)
{\displaystyle B=(b,y(b))}
Rodzina funkcji (funkcjonał ) spełniających założenia problemu jest opisana jako:
F
(
y
(
x
)
)
=
∫
a
b
d
s
v
{\displaystyle F(y(x))=\int \limits _{a}^{b}{\frac {ds}{v}}}
gdzie:
d
s
=
1
+
y
′
(
x
)
2
d
x
{\displaystyle ds={\sqrt {1+y'(x)^{2}}}dx}
v
=
y
′
(
x
)
{\displaystyle v=y'(x)}
zasady zachowania energii :
1
2
m
v
2
=
m
g
(
y
(
a
)
−
y
(
x
)
)
{\textstyle {\frac {1}{2}}mv^{2}=mg(y(a)-y(x))}
stąd:
v
=
2
g
(
y
(
a
)
−
y
(
x
)
)
{\displaystyle v={\sqrt {2g(y(a)-y(x))}}}
Wyrażenia na
d
s
{\displaystyle ds}
v
{\displaystyle v}
F
(
y
(
x
)
)
=
∫
a
b
1
+
y
′
(
x
)
2
2
g
(
y
(
a
)
−
y
(
x
)
)
d
x
{\displaystyle F(y(x))=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {\frac {1+y'(x)^{2}}{2g(y(a)-y(x))}}}dx}
Nie zmniejszając ogólności rozważań można przyjąć punkt
A
{\displaystyle A}
A
=
(
0
,
0
)
{\displaystyle A=(0,0)}
y skierowana jest do dołu. Zatem, aby rozwiązać postawione zagadnienie, należy wyznaczyć ekstremum (minimum) funkcjonału:
F
(
y
(
x
)
)
=
∫
a
b
1
+
y
′
(
x
)
2
2
g
y
(
x
)
d
x
{\displaystyle F(y(x))=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {\frac {1+y'(x)^{2}}{2gy(x)}}}dx}
Jako że zadana całka nie zależy jawnie od zmiennej
x
{\displaystyle x}
równania Eulera zastosować tożsamość Beltramiego (
f
−
y
′
∂
f
∂
y
′
=
C
{\displaystyle f-y'{\frac {\partial f}{\partial y'}}=C}
1
+
y
′
(
x
)
2
2
g
y
(
x
)
−
2
g
y
(
x
)
1
+
y
′
(
x
)
2
y
′
(
x
)
2
2
g
y
(
x
)
=
C
{\displaystyle {\sqrt {\frac {1+y'(x)^{2}}{2gy(x)}}}-{\sqrt {\frac {2gy(x)}{1+y'(x)^{2}}}}{\frac {y'(x)^{2}}{2gy(x)}}=C}
gdzie
C
{\displaystyle C}
y
(
x
)
(
1
+
y
′
(
x
)
2
)
=
1
2
g
C
2
=
k
2
{\displaystyle y(x)(1+y'(x)^{2})={\frac {1}{2gC^{2}}}=k^{2}}
Jest to równanie różniczkowe, którego rozwiązaniem jest cykloida postaci:
x
(
θ
)
=
1
2
k
2
(
θ
−
sin
θ
)
{\displaystyle x(\theta )={\frac {1}{2}}k^{2}(\theta -\sin \theta )}
y
(
θ
)
=
1
2
k
2
(
1
−
cos
θ
)
{\displaystyle y(\theta )={\frac {1}{2}}k^{2}(1-\cos \theta )}
