Brachistochrona

Brachistochrona

Brachistochrona – krzywa, po której czas staczania się masy punktowej od punktu A do punktu B pod wpływem stałej siły (siły ciężkości) jest najkrótszy. Nazwa pochodzi od złożenia greckich słów brachistos (βραχιστoς) - "najkrótszy" i chronos (χρovoς) - "czas".

Zagadnienie brachistochrony było jednym z pierwszych, do rozwiązania którego wykorzystano rachunek wariacyjny. Postawiony w 1696 przez Jakuba Bernoulliego problem znalezienia krzywej najszybszego spadku został rozwiązany niezależnie przez Leibniza, Newtona, Jana Bernoulliego oraz de L'Hospitala. Okazało się, że brachistochroną jest fragment cykloidy.

Rozwiązanie zagadnienia

Załóżmy, że równanie szukanej krzywej to $y = y(x)$. Wtedy punkty $A$ i $B$ mogą być zapisane następująco: $A = (a,y(a))$ oraz $B = (b,y(b))$. Rodzina funkcji (funkcjonał) spełniających założenia problemu jest opisana jako:

$F(y(x)) = \int\limits_a^b \frac{ds}{v}$

gdzie $ds = \sqrt{1+y'(x)^2}dx$ to długość krzywej, zaś $v = y'(x)$ jest prędkością, którą można wyznaczyć z zasady zachowania energii:

$\frac{1}{2}mv^2 = mg(y(a)-y(x))$

stąd:

$v = \sqrt{2g(y(a)-y(x))}$

Wyrażenia na $ds$ i $v$ można teraz wstawić do wyjściowej całki:

$F(y(x)) = \int\limits_a^b \sqrt{\frac{1+y'(x)^2}{2g(y(a)-y(x))}}dx$

Nie zmniejszając ogólności rozważań można przyjąć punkt $A$ jako $A = (0,0)$, co uprości dalsze rachunki. Załóżmy również, że oś y skierowana jest do dołu. Zatem aby rozwiązać postawione zagadnienie należy wyznaczyć ekstremum (minimum) funkcjonału:

$F(y(x)) = \int\limits_a^b \sqrt{\frac{1+y'(x)^2}{2gy(x)}}dx$

Jako że zadana całka nie zależy jawnie od zmiennej $x$ możemy zamiast równania Eulera zastosować tożsamość Beltramiego ($f - y'\frac{\partial f}{\partial y'}=C$):

$\sqrt{\frac{1+y'(x)^2}{2gy(x)}} - \sqrt{\frac{2gy(x)}{1+y'(x)^2}} \frac{y'(x)^2}{2gy(x)} = C$

gdzie $C$ oznacza pewną stałą. Po uproszczeniu powyższego wyrażenia otrzymujemy:

$y(x)(1+y'(x)^2) = \frac{1}{2gC^2} = k^2$

Jest to równanie różniczkowe, którego rozwiązaniem jest cykloida postaci:

$x(\theta) = \frac{1}{2}k^2 (\theta - sin\theta)$

$y(\theta) = \frac{1}{2}k^2 (1-cos\theta)$

Zobacz też

• rachunek wariacyjny
• tautochrona