Energia sprężystości

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Energia sprężystości (sprężysta) – energia nagromadzona w materiale w wyniku jego odkształceń. Jest funkcją tych odkształceń, choć może być wyrażana w zależności od naprężeń, właściwości materiału, przyłożonych sił. Zależności energii sprężystości od wyżej wspomnianych czynników w wielu metodach analiz wytrzymałościowych pozwalają rozwiązywać skomplikowane układy; są często wykorzystywane w metodach numerycznych.

Proste przypadki[edytuj | edytuj kod]

  • Energia sprężystości dla materiału linowo-sprężystego w przypadku ściskania:
gdzie:
– siła ściskająca,
moduł Younga,
– pole ściskanego przekroju.
  • Energia sprężystości dla materiału linowo-sprężystego w przypadku ścinania:
gdzie:
– siła ścinająca,
moduł Kirchhoffa,
– pole ściskanego przekroju,
współczynnik kształtu.
  • Energia sprężystości dla materiału linowo-sprężystego w przypadku zginania:
gdzie:
moment gnący,
moduł Younga,
moment bezwładności przekroju.
  • Energia sprężystości dla materiału linowo-sprężystego w przypadku skręcania:
gdzie:
moment skręcający,
moduł Kirchhoffa,
biegunowy moment bezwładności przekroju.

Wszystkie wzory odnoszą się do jednostki długości pręta

Energia właściwa[edytuj | edytuj kod]

Energia sprężysta nagromadzona w jednostce objętości pręta rozciąganego nazywana jest sprężystą energią właściwą lub gęstością energii[1]. Wyraża się ona wzorem

W przypadku złożonego stanu naprężenia możemy, posługując się zasadą superpozycji (sumowania skutków działających naprężeń) i rozważając układ w lokalnym układzie osi głównych (dzięki czemu stan naprężenia opisany jest tylko naprężeniami głównymi), całkowitą energię właściwą układu można przedstawić w postaci[2]

(a)

gdzie są odpowiednio -tym naprężeniem i -tym odkształceniem głównym.

W tym złożonym stanie naprężeń, dylatacja, czyli względna zmiana objętości prostopadłościanu o bokach wyraża się wzorem

(b)

gdzie:

Z prawa Hooke’a dla trójwymiarowego stanu naprężenia wynikają wzory[2]

(c1)
(c2)
(c3)

których podstawienie do (a) prowadzi do wyniku

(d)

gdzie jest liczbą Poissona.

Podstawienie wzorów (c) do (b) prowadzi do wzoru

(e)

z którego wynika, że zmiana objętości nie zależy od wartości poszczególnych naprężeń głównych tylko od ich sumy.

Jeżeli wprowadzimy oznaczenie[2]

to zamiast (e) otrzymamy

gdzie:

jest modułem odkształcenia objętościowego[2].

Naprężeniu odpowiada odkształcenie

Energia właściwa odkształcenia objętościowego wyraża się wzorem

lub

Całkowita energia właściwa układu jest sumą dwu składników: przy czym jest energią właściwą odkształcenia objętościowego, a – energią właściwą odkształcenia postaciowego.

Energię właściwą odkształcenia postaciowego otrzymamy zatem ze wzoru

Dla prostego rozciągania tzn. gdy, mamy

Prostota otrzymanych wzorów wynika z faktu[2], że stany naprężenia i odkształcenia zostały opisane w lokalnym układzie osi głównych, to znaczy skierowanych zgodnie z kierunkami naprężeń głównych. W dowolnym układzie osi wzory te się komplikują i można je znaleźć w pracach[1][3].

Twierdzenia o energii sprężystej[edytuj | edytuj kod]

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. a b A. Gawęcki, Podstawy mechaniki konstrukcji prętowych, Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, Poznań 1985.
  2. a b c d e N.M. Bielajew, Wytrzymałość materiałów, Wydawnictwo MON, Warszawa 1954.
  3. S. Piechnik, Wytrzymałość materiałów, PWN, Warszawa-Kraków 1980.