Skręcanie

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Skręcanie – w wytrzymałości materiałów stan obciążenia materiału, w którym na materiał działa moment, nazwany momentem skręcającym, działający w płaszczyźnie przekroju poprzecznego materiału. Powoduje on występowanie naprężeń ścinających w płaszczyźnie równoległej do płaszczyzny działania momentu. Skręcanie występuje w prętach, którymi najczęściej są wały. Wyróżniamy 2 podstawowe przypadki skręcania:

Skręcanie czyste
  • Skręcanie czyste – w którym do ścianek poprzecznych jednorodnego i izotropowego pręta pryzmatycznego przyłożone jest obciążenie o gęstości , które redukuje się do dwóch przeciwnie skierowanych momentów działających w płaszczyźnie ścianek poprzecznych. Rozwiązanie tego przypadku jest możliwe tylko w przypadku, gdy uda nam się znaleźć funkcję spaczenia ф, charakterystyczną dla danego przekroju pręta, która jest rozwiązaniem układu równań (zagadnienie Neumanna):



gdzie m i n są współrzędnymi wektora normalnego do pobocznicy pręta.

Skręcanie proste
  • Skręcanie proste pręta, które różni się od skręcania „czystego” tym, że obciążenie zastępujemy dwójką przeciwnie skierowanych, równych co do wartości skupionych momentów skręcających. Analityczne rozwiązanie tego przypadku jest praktycznie niemożliwe, dlatego stosujemy zgodnie z zasadą de Saint-Venanta rozwiązanie zagadnienia czystego skręcania

Rozwiązanie zagadnienia czystego skręcania[edytuj]

Rozwiązanie zagadnienia liniowej teorii sprężystości w przypadku czystego skręcania jest następujące:

Tensor naprężeń:

Tensor odkształceń

gdzie:

Gmoduł Kirchhoffa
ф – funkcja spaczenia, charakterystyczna dla przekroju
Θ – jednostkowy kąt skręcenia
α – kąt skręcenia

Wektor przemieszczeń

  • wzdłuż osi pręta
  • w kierunkach prostopadłych

Proste skręcanie[edytuj]

Dla skręcania prostego przyjmujemy, że jednostkowy kąt skręcenia jest równy

gdzie:

Is – moment bezwładności na skręcanie, wyznaczany na podstawie rozwiązania równań skręcania czystego
Mxmoment skręcający
Iloczyn zwany jest sztywnością na skręcanie.

Proste skręcanie pręta o przekroju kołowym[edytuj]

Stan naprężeń w przekroju poprzecznym skręcanego preta i rury

Dla przekroju kołowego funkcja spaczenia ф=0.
Dla koła
gdzie D – średnica przekroju, a I0 to biegunowy moment bezwładności
Naprężenia rozkładają się w przekrojach tak jak widać to na rysunku. Naprężenia wyrażają się wtedy wzorem:

gdzie r – odległość punktu od środka przekroju.
Naprężenia maksymalne występują więc na samym brzegu przekroju i są równe
Możemy więc określić wielkość zwaną wskaźnikiem wytrzymałości przekroju na skręcanie

Stan naprężeń w przekroju cienkościennym

Dla przekrojów cienkościennych stosuje się uproszczony wzór na maksymalne naprężenia styczne. Zakłada się przy nim, że naprężenia rozkładają się równomiernie na całej grubości ścianki.

Gdzie:

– minimalna grubość ścianki
A – pole obszaru ograniczonego linią środkową przekroju

Proste skręcanie pręta o przekroju prostokątnym[edytuj]

Rozkład naprężeń w przekroju prostokątnym

Rzeczywiste rozwiązanie tego problemu nie jest znane, możemy posługiwać się tylko rozwiązaniami przybliżonymi. Dzieje się tak, ponieważ, w przeciwieństwie do przekroju kołowego, przekrój prostokątny ulega deplanacji. Wyprowadzono przybliżone wzory na maksymalne naprężenia styczne i jednostkowy kąt skręcenia, przy czym występują w nich współczynniki α (nie mający nic wspólnego z kątem skręcenia α) i β, zależne od stosunku dłuższego boku przekroju do krótszego (h/b). Współczynniki te zostały obliczone dla niektórych wartości h/b oraz zostały stablicowane. Niektóre wartości pokazuje tabelka:

h/b 1,0 1,5 1,75 2,0 2,5 3,0 4,0 6,0 8,0 10,0
α 0,208 0,231 0,239 0,246 0,258 0,267 0,282 0,299 0,307 0,313 0,333
β 0,141 0,196 0,214 0,229 0,249 0,263 0,281 0,299 0,307 0,313 0,333
Maksymalne naprężenia styczne – występują zawsze w połowie dłuższego boku przekroju.

Jednostkowy kąt skręcenia

Warunki projektowania[edytuj]

Pręty skręcane projektuje się ze względu na możliwość wystąpienia dwóch stanów niebezpiecznych:

  • graniczny stan użytkowania – skręcenie nie może przekroczyć wartości dopuszczalnej


Lub gdy Moment skręcający Mx nie jest stały w całym pręcie (jest funkcją zmiennej x):
(l – długość pręta)

  • graniczny stan nośności – naprężenia nie mogą przekroczyć wytrzymałości na ścinanie

Zobacz też[edytuj]