Energia sprężystości

Energia sprężystości (sprężysta) – energia nagromadzona w materiale w wyniku jego odkształceń. Jest funkcją tych odkształceń, choć może być wyrażana w zależności od naprężeń, właściwości materiału, przyłożonych sił. Zależności energii sprężystości od wyżej wspomnianych czynników w wielu metodach analiz wytrzymałościowych pozwalają rozwiązywać skomplikowane układy; są często wykorzystywane w metodach numerycznych.

Proste przypadki

• Energia sprężystości dla materiału liniowo-sprężystego w przypadku ściskania:

${\frac {dU_{N}}{dx}}={\frac {1}{2}}\,{\frac {F_{N}^{2}}{EA}},$

gdzie:

$F_{N}$ – siła ściskająca,

$E$ – moduł Younga,

$A$ – pole ściskanego przekroju.

• Energia sprężystości dla materiału linowo-sprężystego w przypadku ścinania:

${\frac {dU_{T}}{dx}}={\frac {1}{2}}\,{k}{\frac {F_{T}^{2}}{GA}},$

gdzie:

$F_{T}$ – siła ścinająca,

$G$ – moduł Kirchhoffa,

$A$ – pole ściskanego przekroju,

$k$ – współczynnik kształtu.

• Energia sprężystości dla materiału linowo-sprężystego w przypadku zginania:

${\frac {dU_{N}}{dx}}={\frac {1}{2}}\,{\frac {M_{g}^{2}}{EI_{z}}},$

gdzie:

$M_{g}$ – moment gnący,

$E$ – moduł Younga,

$I_{z}$ – moment bezwładności przekroju.

• Energia sprężystości dla materiału linowo-sprężystego w przypadku skręcania:

${\frac {dU_{S}}{dx}}={\frac {1}{2}}\,{\frac {M_{s}^{2}}{GI_{o}}},$

gdzie:

$M_{s}$ – moment skręcający,

$G$ – moduł Kirchhoffa,

$I_{o}$ – biegunowy moment bezwładności przekroju.

Wszystkie wzory odnoszą się do jednostki długości pręta $dx.$

Energia właściwa

Energia sprężysta $u$ nagromadzona w jednostce objętości pręta rozciąganego nazywana jest sprężystą energią właściwą lub gęstością energii. Wyraża się ona wzorem

$u={\tfrac {1}{2}}\sigma \epsilon .$

W przypadku złożonego stanu naprężenia możemy, posługując się zasadą superpozycji (sumowania skutków działających naprężeń) i rozważając układ w lokalnym układzie osi głównych (dzięki czemu stan naprężenia opisany jest tylko naprężeniami głównymi), całkowitą energię właściwą układu można przedstawić w postaci

(a)${}\quad u={\tfrac {1}{2}}\sigma _{1}\epsilon _{1}+{\tfrac {1}{2}}\sigma _{2}\epsilon _{2}+{\tfrac {1}{2}}\sigma _{3}\epsilon _{3},$

gdzie $\sigma _{i},\epsilon _{i}$ są odpowiednio $i$-tym naprężeniem i $i$-tym odkształceniem głównym.

W tym złożonym stanie naprężeń, dylatacja, czyli względna zmiana objętości $V_{o}=abc$ prostopadłościanu o bokach $a,b,c,$ wyraża się wzorem

(b)${}\quad \Theta ={\frac {V_{1}-V_{0}}{V_{0}}}=\epsilon _{1}+\epsilon _{2}+\epsilon _{3},$

gdzie:

${\begin{aligned}V_{1}&=(a+\Delta a)(b+\Delta b)(c+\Delta c)\\[1ex]&=abc\left(1+{\frac {\Delta a}{a}}\right)\left(1+{\frac {\Delta b}{b}}\right)\left(1+{\frac {\Delta c}{c}}\right)\\[1ex]&=V_{o}(1+\epsilon _{1})(1+\epsilon _{2})(1+\epsilon _{3}).\end{aligned}}$

Z prawa Hooke’a dla trójwymiarowego stanu naprężenia wynikają wzory

(c1)${}\quad \varepsilon _{1}={\frac {1}{E}}{\big [}\sigma _{1}-\mu (\sigma _{2}+\sigma _{3}){\big ]},$
(c2)${}\quad \varepsilon _{2}={\frac {1}{E}}{\big [}\sigma _{2}-\mu (\sigma _{3}+\sigma _{1}){\big ]},$
(c3)${}\quad \varepsilon _{3}={\frac {1}{E}}{\big [}\sigma _{3}-\mu (\sigma _{1}+\sigma _{2}){\big ]},$

których podstawienie do (a) prowadzi do wyniku

(d)${}\quad u={\frac {1}{2E}}{\big [}\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}+\sigma _{3}^{2}-2\mu (\sigma _{1}\sigma _{2}+\sigma _{1}\sigma _{3}+\sigma _{2}\sigma _{3}){\big ]},$

gdzie $\mu$ jest liczbą Poissona.

Podstawienie wzorów (c) do (b) prowadzi do wzoru

(e)${}\quad \Theta ={\frac {1-2\mu }{E}}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}),$

z którego wynika, że zmiana objętości $\Theta$ nie zależy od wartości poszczególnych naprężeń głównych tylko od ich sumy.

Jeżeli wprowadzimy oznaczenie

$\sigma _{sr}={\tfrac {1}{3}}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}),$

to zamiast (e) otrzymamy

$\Theta ={\frac {1-2\mu }{E}}3\sigma _{sr}={\frac {\sigma _{sr}}{K}},$

gdzie:

$K={\frac {E}{3(1-2\mu )}}$

jest modułem odkształcenia objętościowego.

Naprężeniu $\sigma _{sr}$ odpowiada odkształcenie

$\epsilon _{sr}={\tfrac {1}{3}}(\epsilon _{1}+\epsilon _{3}+\epsilon _{3})={\tfrac {1}{3}}{\frac {\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}}{3K}}={\frac {\sigma _{sr}}{3K}}.$

Energia właściwa $u_{v}$ odkształcenia objętościowego wyraża się wzorem

$u_{v}=3{\tfrac {1}{2}}\sigma _{sr}\epsilon _{sr}={\frac {\sigma _{sr}^{2}}{2K}}={\frac {(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})^{2}}{18K}}$

lub

$u_{v}={\frac {1-2\mu }{6E}}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})^{2}.$

Całkowita energia właściwa układu $u$ jest sumą dwu składników: $u=u_{v}+u_{f},$ przy czym $u_{v}$ jest energią właściwą odkształcenia objętościowego, a $u_{f}$ – energią właściwą odkształcenia postaciowego.

Energię właściwą odkształcenia postaciowego $u_{f}$ otrzymamy zatem ze wzoru

${\begin{aligned}u_{f}&=u-u_{v}\\[1ex]&={\tfrac {1}{2E}}{\big [}\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}+\sigma _{3}^{2}-2\mu (\sigma _{1}\sigma _{2}+\sigma _{2}\sigma _{3}+\sigma _{3}\sigma _{1}){\big ]}\\[1ex]&\quad -{\tfrac {1-2\mu }{6E}}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})^{2}\\[1ex]&={\tfrac {1+\mu }{3E}}(\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}+\sigma _{3}^{2}-\sigma _{1}\sigma _{2}-\sigma _{2}\sigma _{3}-\sigma _{3}\sigma _{1}).\end{aligned}}$

Dla prostego rozciągania tzn. gdy, $\sigma _{1}=\sigma ,\;\sigma _{2}=\sigma _{3}=0$ mamy

$u_{v}={\frac {(1-2\mu )\sigma ^{2}}{6E}},\quad u_{f}={\frac {(1+\mu )\sigma ^{2}}{3E}},\quad u={\frac {\sigma ^{2}}{2E}}.$

Prostota otrzymanych wzorów wynika z faktu, że stany naprężenia i odkształcenia zostały opisane w lokalnym układzie osi głównych, to znaczy skierowanych zgodnie z kierunkami naprężeń głównych. W dowolnym układzie osi wzory te się komplikują i można je znaleźć w pracach.

Twierdzenia o energii sprężystej

• twierdzenie Bettiego (o wzajemności prac i przemieszczeń)
• twierdzenie J.C. Maxwella (o wzajemności przemieszczeń): szczególna postać twierdzenia Bettiego, gdy są tylko dwie równe siły
• twierdzenie Castigliano
• twierdzenie Menabrei (zasada minimum pracy)

Zobacz też

• zasada minimum energii potencjalnej