Granica Banacha

Granica Banacha – liniowy i ciągły funkcjonał na przestrzeni $\ell _{\infty }$ wszystkich ograniczonych ciągów liczbowych z normą supremum, naśladujący własności operacji brania granicy ciągu zbieżnego. W szczególności, granica Banacha ciągu zbieżnego jest równa jego granicy w zwykłym sensie. Dla dowodu istnienia granic Banacha potrzebne jest twierdzenie Hahna-Banacha (a więc pewna forma aksjomatu wyboru), stąd charakter tego pojęcia jest wyłącznie egzystencjonalny – granicy Banacha nie można skonstruować krok po kroku. Użycie w dowodzie istnienia granicy Banacha twierdzenia Hahna-Banacha nie mówi nic o jednoznaczności istnienia funkcjonału o takich własnościach. Co więcej, każdemu ultrafiltrowi wolnemu w algebrze potęgowej ${\mathcal {P}}(\omega )$ odpowiada dokładnie jedna granica Banacha.

Twierdzenie

Istnieje ograniczony funkcjonał liniowy

f\colon \ell _{\infty }\to \mathbb {C}

mający następujące własności:

Jeśli $x=(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \ell _{\infty }$ oraz $x_{n}\geqslant 0,$ to $f(x)\geqslant 0,$
Jeśli $x\in \ell _{\infty },$ to $f(x)=f(Sx),$ gdzie $Sx=(x_{2},x_{3},x_{4},\dots )$ dla $x=(x_{1},x_{2},x_{3},\dots ),$
$f(1,1,1,\dots )=1.$

Funkcjonał $f$ taki, jak wyżej nazywamy granicą Banacha.

Własności

Niech $L$ będzie granicą Banacha oraz $x=(x_{n})_{n\in \mathbb {N} },y=(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \ell _{\infty }.$ Wówczas:

Jeśli $x_{n}\leqslant y_{n}$ dla $n\in \mathbb {N} ,$ to $L(x)\leqslant L(y)$
$\liminf _{n\to \infty }x_{n}\leqslant L(x)\leqslant \limsup _{n\to \infty }x_{n}$ (co oznacza, że $L(x)=\lim _{n\to \infty }x_{n}$ dla każdego ciągu zbieżnego $x$ )
$L(x)=1/2$ dla $x=(1,0,1,0,\dots )$ ponieważ $x+Sx=(1,1,1,\dots ),$ skąd $L(x+Sx)=1,$ ale