Granica Banacha

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Granica Banachaliniowy i ciągły funkcjonał na przestrzeni \ell^\infty wszystkich ograniczonych ciągów liczbowych[1] z normą supremum, naśladujący własności operacji brania granicy ciągu zbieżnego. W szczególności, granica Banacha ciągu zbieżnego jest równa jego granicy w zwykłym sensie. Dla dowodu istnienia granic Banacha potrzebne jest twierdzenie Hahna-Banacha (a więc pewna forma aksjomatu wyboru), stąd charakter tego pojęcia jest wyłącznie egzystencjonalny - granicy Banacha nie można skonstruować krok po kroku. Użycie w dowodzie istnienia granicy Banacha twierdzenia Hahna-Banacha nie mówi nic o jednoznaczności istnienia funkcjonału o takich własnościach. Co więcej, każdemu ultrafiltrowi wolnemu w algebrze potęgowej \mathcal{P}(\omega) odpowiada dokładnie jedna granica Banacha.

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Istnieje funkcjonał liniowy f\colon \ell^\infty\to \mathbb{C} o własnościach

  1. Jeśli x=(x_n)_{n\in\mathbb{N}}\in \ell^\infty oraz x_n\geqslant 0, to f(x)\geqslant 0,
  2. Jeśli x\in \ell^\infty, to f(x)=f(Sx), gdzie Sx=(x_2, x_3, x_4, \ldots ) dla x=(x_1, x_2, x_3, \ldots ),
  3. f(1,1,1,\ldots )=1.

Funkcjonał f taki, jak wyżej nazywamy granicą Banacha.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Niech L będzie granicą Banacha oraz x=(x_n)_{n\in\mathbb{N}}, y=(y_n)_{n\in \mathbb{N}}\in \ell^\infty, wówczas:

  • Jeśli x_n\leqslant y_n dla n\in\mathbb{N}, to L(x)\leqslant L(y)
  • \liminf_{n\to \infty}x_n \leqslant L(x)\leqslant \limsup_{n\to\infty}x_n (co oznacza, że L(x)=\lim_{n\to\infty}x_n dla ciągu zbieżnego x)
  • L(x)=0{,}5 dla x=(1,0,1,0, \ldots) ponieważ x+Sx=(1,1,1, \ldots), skąd L(x+Sx)=1, ale L(x+Sx)=L(x)+L(Sx)=2\mbox{LIM}(x), czyli L(x)=0{,}5
  • Granica Banacha nie jest funkcjonałem multyplikatywnym, tzn. istnieją takie ciągi ograniczone x i y, że L(xy)\neq L(x)\cdot L(y) - gdyby granica Banacha była funkcjonałem multyplikatywnym, to biorąc x=(1,0,1,0,\ldots) dostalibyśmy 0=L(0)=L(x\cdot Sx)=L(x)\cdot L(Sx)=(L(x))^2=\tfrac{1}{4}. Sprzeczność.

Przypisy

  1. Mamy tu na myśli ciągi o wyrazach zespolonych, jednakże wszędzie w tym artykule, gdzie pojawiać się będą nierówności, będziemy w domyśle zakładać, że po obu stronach znajdują się liczby rzeczywiste.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Walter Rudin: Analiza Funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2009, s. 98. ISBN 978-83-01-15802-6.