Granica Banacha

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Granica Banachaliniowy i ciągły funkcjonał na przestrzeni wszystkich ograniczonych ciągów liczbowych[1] z normą supremum, naśladujący własności operacji brania granicy ciągu zbieżnego. W szczególności, granica Banacha ciągu zbieżnego jest równa jego granicy w zwykłym sensie. Dla dowodu istnienia granic Banacha potrzebne jest twierdzenie Hahna-Banacha (a więc pewna forma aksjomatu wyboru), stąd charakter tego pojęcia jest wyłącznie egzystencjonalny - granicy Banacha nie można skonstruować krok po kroku. Użycie w dowodzie istnienia granicy Banacha twierdzenia Hahna-Banacha nie mówi nic o jednoznaczności istnienia funkcjonału o takich własnościach. Co więcej, każdemu ultrafiltrowi wolnemu w algebrze potęgowej odpowiada dokładnie jedna granica Banacha.

Twierdzenie[edytuj]

Istnieje funkcjonał liniowy o własnościach

  1. Jeśli oraz , to ,
  2. Jeśli , to , gdzie dla ,
  3. .

Funkcjonał taki, jak wyżej nazywamy granicą Banacha.

Własności[edytuj]

Niech będzie granicą Banacha oraz , wówczas:

  • Jeśli dla , to
  • (co oznacza, że dla ciągu zbieżnego )
  • dla ponieważ , skąd , ale , czyli
  • Granica Banacha nie jest funkcjonałem multyplikatywnym, tzn. istnieją takie ciągi ograniczone i , że - gdyby granica Banacha była funkcjonałem multyplikatywnym, to biorąc dostalibyśmy . Sprzeczność.

Przypisy

  1. Mamy tu na myśli ciągi o wyrazach zespolonych, jednakże wszędzie w tym artykule, gdzie pojawiać się będą nierówności, będziemy w domyśle zakładać, że po obu stronach znajdują się liczby rzeczywiste.

Bibliografia[edytuj]

  1. Walter Rudin: Analiza Funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2009, s. 98. ISBN 978-83-01-15802-6.