Klotoida

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Klotoida

Klotoida, spirala Cornu, spirala Eulerakrzywa opisana w roku 1874 przez francuskiego fizyka Marie Alfreda Cornu w związku z badaniami w dziedzinie optyki (dyfrakcji światła). Cechą charakterystyczną klotoidy jest to, że jej krzywizna jest proporcjonalna do długości łuku – licząc od punktu (0,0). Krzywa ta, poza obliczeniami dotyczącymi dyfrakcji fal, znalazła zastosowanie w projektowaniu dróg i linii kolejowych. Pojazd poruszający się po klotoidzie ze stałą prędkością liniową ma jednostajne przyspieszenie kątowe i jednostajnie rosnącą siłę odśrodkową.

Opis matematyczny[edytuj | edytuj kod]

Równanie parametryczne klotoidy ma następującą postać:

x=a\sqrt{\pi }\int\limits_{0}^{t}{\cos }\left( \frac{\pi t^{2}}{2}  \right)dt
y=a\sqrt{\pi }\int\limits_{0}^{t}{\sin }\left( \frac{\pi t^{2}}{2} \right)dt,

gdzie:

t – parametr {\textstyle t=\frac{s}{a\sqrt{\pi }}},
s – długość łuku,
a – współczynnik z równania wyrażającego proporcjonalność krzywizny {\textstyle \kappa} do długości łuku: {\textstyle \kappa =\frac{s}{a^{2}}}.

Krzywa ta ma dwa punkty asymptotyczne o współrzędnych:

\left( \frac{a\sqrt{\pi }}{2},\frac{a\sqrt{\pi }}{2} \right)\quad \operatorname{i}\quad \left( -\frac{a\sqrt{\pi }}{2},-\frac{a\sqrt{\pi }}{2} \right)

Jest symetryczna względem punktu (0,0). Punkt ten jest również punktem przegięcia klotoidy. Oś {\textstyle OX} jest styczna do krzywej w tym punkcie.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew: Matematyka. Poradnik encyklopedyczny, Wydawnictwo Naukowe PWN Warszawa 1997, wyd. XIV, ISBN 83-01-11658-7

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]