Przejdź do zawartości

Metryka Lévy’ego-Prochorowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Metryka Lévy’ego-Prochorowametryka określona na rodzinie miar probabilistycznych w przestrzeni metrycznej. Została wprowadzona w 1956 r. przez sowieckiego matematyka Jurija Prochorowa jako uogólnienie metryki Lévy’ego.

Definicja

[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie przestrzenią metryczną z σ-ciałem zbiorów borelowskich Ponadto niech będzie rodziną wszystkich miar probabilistycznych określonych na przestrzeni mierzalnej

Dla podzbioru zdefiniujmy epsilonowe otoczenie zbioru

gdzie jest kulą otwartą wokół o promieniu

Metryka Lévy’ego-Prochorowa to odległość pomiędzy dwoma miarami probabilistycznymi i na zdefiniowana jako

Jasne jest, że dla miar probabilistycznych zachodzi

Niektórzy autorzy opuszczają jedną z dwóch nierówności lub wybierają jedynie otwarty lub domknięty zbiór Jedna z nierówności implikuje drugą, a ale ograniczenie się jedynie do zbiorów otwartych może zmienić zdefiniowaną metrykę, jeśli nie jest przestrzenią polską.

Własności

[edytuj | edytuj kod]
  • Jeśli jest przestrzenią ośrodkową, zbieżność miar w metryce Lévy’ego-Prochorowa jest równoważna słabej zbieżności miar. Zatem w tym przypadku z topologią słabej zbieżności jest metryzowalna, a metryką tą jest właśnie
  • Przestrzeń metryczna jest ośrodkowa wtedy i tylko wtedy, gdy jest ośrodkowa.
  • Jeśli jest zupełna to jest zupełna. Ponadto jeśli wszystkie miary w mają ośrodkowy nośnik, wówczas zachodzi również odwrotna implikacja: jeśli jest zupełna, to jest zupełna. W szczególności jest to sytuacja, gdy jest ośrodkowa.
  • Jeśli jest ośrodkowa i zupełna, wówczas podzbiór jest warunkowo zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jego domknięcie względem jest zwarte względem
  • Jeśli jest ośrodkowa, to gdzie jest metryką Ky Fana, a oznacza rozkład zmiennej losowej [1][2].

Zobacz też

[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. Dudley 1989 ↓, s. 322.
  2. Račev 1991 ↓, s. 159.

Bibliografia

[edytuj | edytuj kod]