Metryka Lévy’ego-Prochorowa

Metryka Lévy’ego-Prochorowa – metryka określona na rodzinie miar probabilistycznych w przestrzeni metrycznej. Została wprowadzona w 1956 r. przez sowieckiego matematyka Jurija Prochorowa jako uogólnienie metryki Lévy’ego.

Definicja

Niech $(M,d)$ będzie przestrzenią metryczną z σ-ciałem zbiorów borelowskich ${\mathfrak {B}}(M).$ Ponadto niech ${\mathcal {P}}(M)$ będzie rodziną wszystkich miar probabilistycznych określonych na przestrzeni mierzalnej $(M,{\mathcal {B}}(M)).$

Dla podzbioru $A\subseteq M$ zdefiniujmy epsilonowe otoczenie zbioru $A$

$A^{\varepsilon }:=\{p\in M:\exists q\in A,\ d(p,q)<\varepsilon \}=\bigcup _{p\in A}B_{\varepsilon }(p),$

gdzie $B_{\varepsilon }(p)$ jest kulą otwartą wokół $p$ o promieniu $\varepsilon .$

Metryka Lévy’ego-Prochorowa $\pi :{\mathcal {P}}(M)^{2}\to [0,+\infty )$ to odległość pomiędzy dwoma miarami probabilistycznymi $\mu$ i $\nu$ na $M,$ zdefiniowana jako

$\pi (\mu ,\nu ):=\inf \left\{\varepsilon >0:\forall A\in {\mathcal {B}}(M),\ \mu (A)\leqslant \nu (A^{\varepsilon })+\varepsilon \ {\text{oraz}}\ \nu (A)\leqslant \mu (A^{\varepsilon })+\varepsilon \right\}.$

Jasne jest, że dla miar probabilistycznych zachodzi $\pi (\mu ,\nu )\leqslant 1.$

Niektórzy autorzy opuszczają jedną z dwóch nierówności lub wybierają jedynie otwarty lub domknięty zbiór $A.$ Jedna z nierówności implikuje drugą, a $({\bar {A}})^{\varepsilon }=A^{\varepsilon },$ ale ograniczenie się jedynie do zbiorów otwartych może zmienić zdefiniowaną metrykę, jeśli $M$ nie jest przestrzenią polską.

Własności

• Jeśli $(M,d)$ jest przestrzenią ośrodkową, zbieżność miar w metryce Lévy’ego-Prochorowa jest równoważna słabej zbieżności miar. Zatem w tym przypadku ${\mathcal {P}}(M)$ z topologią słabej zbieżności jest metryzowalna, a metryką tą jest właśnie $\pi .$
• Przestrzeń metryczna $\left({\mathcal {P}}(M),\pi \right)$ jest ośrodkowa wtedy i tylko wtedy, gdy $(M,d)$ jest ośrodkowa.
• Jeśli $\left({\mathcal {P}}(M),\pi \right)$ jest zupełna to $(M,d)$ jest zupełna. Ponadto jeśli wszystkie miary w ${\mathcal {P}}(M)$ mają ośrodkowy nośnik, wówczas zachodzi również odwrotna implikacja: jeśli $(M,d)$ jest zupełna, to $\left({\mathcal {P}}(M),\pi \right)$ jest zupełna. W szczególności jest to sytuacja, gdy $(M,d)$ jest ośrodkowa.
• Jeśli $(M,d)$ jest ośrodkowa i zupełna, wówczas podzbiór ${\mathcal {K}}\subseteq {\mathcal {P}}(M)$ jest warunkowo zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jego domknięcie względem $\pi$ jest zwarte względem $\pi .$
• Jeśli $(M,d)$ jest ośrodkowa, to $\pi (\mu ,\nu )=\inf\{\alpha (X,Y):P_{X}=\mu ,P_{Y}=\nu \},$ gdzie $\alpha (X,Y)=\inf\{\varepsilon >0:\mathbb {P} (d(X,Y)>\varepsilon )\leqslant \varepsilon \}$ jest metryką Ky Fana, a $P_{X}$ oznacza rozkład zmiennej losowej $X$.

Zobacz też

• jędrna rodzina miar
• metryka Radona
• twierdzenie Prochorowa

Bibliografia

• Billingsley, Patrick: Convergence of Probability Measures. Nowy Jork: John Wiley & Sons, Inc., 1999. ISBN 0-471-19745-9. OCLC 41238534. (ang.). Brak numerów stron w książce
• R.M. Dudley: Real analysis and probability. Pacific Grove, Calif.: Wadsworth & Brooks/Cole, 1989. ISBN 0-534-10050-3. (ang.). Brak numerów stron w książce
• Svetlozar T. Račev: Probability metrics and the stability of stochastic models. Chichester: Wiley, 1991. ISBN 0-471-92877-1. (ang.). Brak numerów stron w książce