Miary wzajemnie osobliwe

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Miary wzajemnie osobliwe – w teorii miary, miary określona na tej samej przestrzeni mierzalnej, które są skupione na rozłącznych podzbiorach przestrzeni. Miarę borelowską na przestrzeni euklidesowej nazywa się osobliwą gdy jest ona wzajemnie osobliwa z miara Lebesgue'a.

Pojecie wzajemnej osobliwości rozważa się także dla miar ze znakiem, miar zespolonych czy miar wektorowych.

Definicja formalna[edytuj]

Ilustracja miar wzajemnie osobliwych.

Niech będzie przestrzenią mierzalną oraz niech i będą miarami na tej przestrzeni. Miary te są (wzajemnie) osobliwe, gdy istnieją takie dwa rozłączne podziory

że

oraz zeruje się na wszystkich mierzalnych podzbiorach podczas gdy zeruje się na wszystkich podzbiorach mierzalnych

Relację wzajemnej osobliwości miar oznacza się symbolem

Ponieważ zawiera nośnik miary a zawiera nośnik miary to powyższą definicję można wyrazić równoważnie w następujący sposób: miary i wzajemnie osobliwe, jeżeli mają one rozłączne nośniki.

Przykłady[edytuj]

  • Delta Diraca skupiona w punkcie przestrzeni Euklidesowej jest osobliwa (względem miary Lebesgue'a).

Bibliografia[edytuj]