Miary wzajemnie osobliwe

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Miary wzajemnie osobliwe – określone na tej samej przestrzeni mierzalnej miary, które są skupione na rozłącznych podzbiorach przestrzeni. Miarę borelowską na przestrzeni euklidesowej nazywa się osobliwą, gdy jest osobliwa względem miary Lebesgue'a.

Pojecie wzajemnej osobliwości rozważa się także dla miar ze znakiem, miar zespolonych czy miar wektorowych.

Definicja[edytuj]

Ilustracja miar wzajemnie osobliwych.

Niech będzie przestrzenią mierzalną oraz niech i będą miarami na tej przestrzeni. Miary te są wzajemnie osobliwe, co oznacza się gdy

  • istnieje rozbicie przestrzeni na dwa niepuste zbiory

oraz

  • zeruje się na wszystkich mierzalnych podzbiorach podczas gdy zeruje się na wszystkich podzbiorach mierzalnych

Ponieważ zawiera nośnik miary a zawiera nośnik miary to powyższą definicję można wyrazić równoważnie w następujący sposób: miary i wzajemnie osobliwe, jeżeli mają one rozłączne nośniki.

Przykłady[edytuj]

  • Delta Diraca skupiona w punkcie przestrzeni Euklidesowej jest osobliwa (względem miary Lebesgue'a).

Bibliografia[edytuj]