Twierdzenie Talesa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Ten artykuł dotyczy twierdzenia o przecięciu ramion kąta prostymi równoległymi. Zobacz też: Twierdzenie Talesa o trójkącie prostokątnym wpisanym w okrąg.

Twierdzenie Talesa – jedno z podstawowych twierdzeń geometrii euklidesowej, tradycja przypisuje jego sformułowanie Talesowi z Miletu[1][2]. Jest też ważnym twierdzeniem geometrii afinicznej.

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

proste równoległe przecinają ramiona kąta
Proste równoległe przecinają ramiona kątów wierzchołkowych

Jeżeli ramiona kąta przetniemy dwiema prostymi równoległymi nieprzechodzącymi przez wierzchołek kąta, to odpowiednie odcinki wyznaczone przez te proste na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do odpowiednich odcinków wyznaczonych przez te proste na drugim ramieniu kąta[1][2].

Przy oznaczeniach na rysunku obok.

Jeśli

to zachodzi każda z trzech równości:

[1][2].

Trzy równości można połączyć w jedną potrójną równość:

[1][2]
Uwaga 1.

Twierdzenie zachodzi również, jeśli proste równoległe przecinają ramiona kątów wzajemnie wierzchołkowych.

Uwaga 2.

Twierdzenie może być sformułowane bez użycia pojęcia kąta:

Jeśli wiązka prostych parami równoległych przecina dwie nierównoległe do siebie proste to odpowiednie odcinki wyznaczone przez tę wiązkę na prostej są proporcjonalne do odpowiednich odcinków wyznaczonych przez tę wiązkę na prostej

lub jeszcze ogólniej

Rzutowanie równoległe zachowuje proporcje długości na prostych, tzn. stosunek długości odcinków współliniowych jest niezmiennikiem rzutowania równoległego.
Thales-sov.jpg

Twierdzenie odwrotne[edytuj | edytuj kod]

Zachodzi również następujące odwrotne twierdzenie.

Jeśli ramiona kąta o wierzchołku przecięte są dwiema prostymi przy czym punkty należą do jednego ramienia kąta, punkty do drugiego oraz:

to tzn. proste są równoległe[2].

Uwaga

Gdyby warunek w założeniu zastąpić np. następującym:

to założenia należałoby uzupełnić o informacje o uporządkowaniu punktów, np.

punkt leży między punktami punkt leży między punktami

Dowody[edytuj | edytuj kod]

Dowód wewnątrz geometrii syntetycznej[edytuj | edytuj kod]

(szkic) twierdzenie Talesa można dowieść korzystając z przejścia granicznego i dobrze określonej miary (np. Lebesgue’a na płaszczyźnie): stosunkowo łatwy jest dowód, gdy podobnie gdy podzieli się odcinki w stosunku wymiernym, przypadek niewymierny dowodzi się przez przybliżenia za pomocą przejścia granicznego.

Dowód wewnątrz geometrii afinicznej[edytuj | edytuj kod]

Niech wektory będą liniowo niezależne i niech dla pewnych tzn.

Jeśli czyli dla pewnego to

Przyrównując skrajne wyrażenia, redukując i porządkując:

Ponieważ są liniowo niezależne, więc czyli Stąd

Odwrotnie, jeśli czyli to

Stąd

Dowód Euklidesa[edytuj | edytuj kod]

Dowód twierdzenia

Najstarszy zachowany dowód twierdzenia Talesa zamieszczony jest w VI. księdze Elementów Euklidesa.

Dowód oparty jest na dwóch lematach:

  1. Jeśli dwa trójkąty mają równe wysokości, to stosunek ich pól jest równy stosunkowi długości ich podstaw.
  2. Jeśli dwa trójkąty mają wspólną podstawę i równe wysokości, to ich pola są równe.
Dowód

Niech oznacza pole powierzchni trójkąta

Trójkąty i mają wspólną wysokość więc na mocy lematu 1.:

Dodatkowo trójkąty i mają wspólną podstawę i równe wysokości dlatego na mocy lematu 2:

stąd

Trójkąty i mają wspólną wysokość, więc zgodnie z lematem 1:

Przyrównując do siebie te równości otrzymuje się

co kończy dowód.

Uwaga

W powyższym rozumowaniu korzysta się z faktu, iż pole trójkąta liczone dla jednego boku jako podstawy i opuszczonej na niego wysokości jest równe polu liczonemu dla innego boku jako podstawy i opuszczonej na ten bok wysokości. Jest to dość silna własność funkcji pola (wyżej korzysta się z niej w drugim zdaniu dowodu), jednak nie jest ona niezbędna do dowiedzenia twierdzenia Talesa i w szkolnej matematyce cicho się ją zakłada. Notabene własność tę można udowodnić właśnie z twierdzenia Talesa. Prowadzi to błędnego koła.

Wniosek[edytuj | edytuj kod]

proste równoległe przecinają ramiona kąta

Przy oznaczeniach na rysunku obok.

Jeśli

to zachodzi każda z dwóch równości:

Dwie równości można połączyć w jedną potrójną równość:

Zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Podział odcinka w danym stosunku[edytuj | edytuj kod]

Poniższa konstrukcja była podstawą greckiej arytmetyki – pozwalała mnożyć i dzielić odcinki, utożsamiane przez Greków z liczbami.

Zadanie
Dane są dwa odcinki o długościach a i b. Dany odcinek AB podziel w stosunku a:b.

Podział odcinka w danym stosunku

Rozwiązanie
Z punktu A należy poprowadzić dwie niewspółliniowe półproste. Na jednej z nich odkładamy kolejno długości a i b, a na drugiej odcinek AB. Prowadzimy prostą przez punkt leżący w odległości a + b na pierwszej półprostej oraz punkt B leżący na drugiej, a następnie prostą do niej równoległą przechodzącą przez punkt leżący na drugiej półprostej w odległości a od punktu A, która wyznacza na prostej AB punkt P. Punkt ten dzieli odcinek AB w stosunku a:b, gdyż z twierdzenia Talesa wynika, że

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. a b c d Twierdzenie Talesa, Naukowiec.org [dostęp 2017-06-25] (pol.).
  2. a b c d e Twierdzenie Talesa, www.math.edu.pl [dostęp 2017-06-25].

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]