Operator ściśle singularny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Operator ściśle singularny (operator Kato) - operator liniowy i ograniczony T między przestrzeniami Banacha X i Y o tej własności, że dla każdej skończenie wymiarowej podprzestrzeni D przestrzeni X i dla każdej dodatniej liczby \varepsilon istnieje taki wektor x o normie 1 należący do D, że

\|Tx\|<\varepsilon.

Mówiąc obrazowo, operator ściśle singularny, to taki operator ograniczony, który nie działa jako izomorfizm na żadnej domkniętej nieskończenie wymiarowej podprzestrzeni swojej dziedziny. Klasa operatorów ściśle singularnych została wyróżniona w 1958 roku przez Tosio Kato[1].

Rodzinę operatorów ściśle singularnych między przestrzeniami X i Y oznacza się na ogół symbolem

\mathcal{S}(X,Y)

(bądź S(X), gdy X = Y).

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • W. T. Gowers i B. Maurey podali jako pierwsi przykład nieskończenie wymiarowej przestrzeni Banacha E o tej własności, że każda podprzestrzeń komplementarna jest skończenie wymiarowa oraz każda domknięta nieskończenie wymiarowa podprzestrzeń przestrzeni E również ma tę własność[7] (tzw. dziedzicznie nierozkładalna przestrzeń Banacha lub przestrzeń HI). Każdy operator ograniczony T: EE na zespolonej przestrzeni HI E może być zapisany w postaci T = cI + S, gdzie c jest pewnym skalarem, I operatorem identyczności, a S pewnym operatorem ściśle singularnym na E.

Przypisy

  1. T. Kato, Perturbation theory for nullity deficiency and other quantities of linear operators, J. Analyse Math. 6 (1958), 273-322.
  2. B. Gramsch, Eine Idealstruktur Banachscher Operatoralgebren, J. Reine Angew. Math. 225 (1967), 97-115.
  3. E. Luft, The two-sided closed ideals of the algebra of bounded linear operators of a Hilbert space, Czechoslovak Math. J. 18 (1968), 595-605.
  4. N. J. Laustsen, Maximal ideals in the algebra of operators on certain Banach spaces, Proc. Edinburgh Math. Soc. 45 (2002), 523-546.
  5. H. Porta, Factorable and strictly singular operators, I, Studia Math. 37 (1971), 237-243.
  6. S. Goldberg, E. Thorp, On some open questions concerning strictly singular operators, Proc. Amer. Math. Soc. 14 (1963), 334-336.
  7. W. T. Gowers, B. Maurey, The unconditional basic sequence problem, J. Amer. Math. Soc., 6 (1993), 851-874.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • A. Pietsch, Operator ideals, North-Holland Math. Lib. 20, North-Holland, 1980.