Twierdzenie Krulla

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ten artykuł dotyczy twierdzenia o ideałach maksymalnych. Zobacz też: inne twierdzenia Krulla.

Twierdzenie Krullatwierdzenie teorii pierścieni mówiące o istnieniu ideałów maksymalnych w dowolnym nietrywialnym pierścieniu z jedynką lub równoważnie: każdy ideał właściwy jest zawarty w pewnym ideale maksymalnym danego nietrywialnego pierścienia z jedynką[1]. Twierdzenie to zostało sformułowane w 1929 roku przez Wolfganga Krulla i jest równoważne z aksjomatem wyboru (gdyż wykorzystuje równoważny z nim lemat Kuratowskiego-Zorna).

Poniższy dowód obowiązuje dla ideałów lewostronnych bądź w pierścieniach przemiennych dla ideałów obustronnych; obowiązuje on mutatis mutandis dla ideałów prawostronnych.

Dowód[edytuj]

Niech oznacza rodzinę wszystkich ideałów właściwych pierścienia zawierającą ustalony ideał częściowo uporządkowaną relacją zawierania. Należy wykazać, że w niepustej rodzinie (należy do niej ) istnieje element maksymalny – jest to szukany ideał maksymalny pierścienia Niech będzie łańcuchem w wówczas jeśli to lub

Wystarczy więc dowieść, że należy do a ponieważ to pozostaje sprawdzić, że jest ideałem właściwym:

  • Otóż jeśli to istnieją ideały dla których i Przyjmując dla ustalenia uwagi otrzymuje się, iż skąd czyli (podobnie dla ); ponadto jeśli oraz to istnieje wtedy taki ideał że wtedy skąd Wynika stąd, że jest ideałem.
  • Ideał jest właściwy wtedy i tylko wtedy, gdy (jeśli to dla dowolnego oznacza, że z drugiej strony jeżeli to ). Skoro wszystkie ideały należące do są właściwe, to żaden z nich nie zawiera jedynki, czyli również co oznacza, że także jest właściwy.

W ten sposób a ponieważ suma każdego łańcucha w należy do to z wniosku do lematu Kuratowskiego-Zorna wynika, że w rodzinie istnieje element (ideał) maksymalny.

Literatura[edytuj]

  • W. Krull, Die Idealtheorie in Ringen ohne Endlicheitsbedingungen, Mathematische Annalen 10 (1929), 729–744.

Przypisy

  1. Pierwsze sformułowanie wynika z drugiego poprzez przyjęcie ideału trywialnego.