Zanurzenie (matematyka)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Zanurzenie (włożenie) – odwzorowanie różnowartościowe obiektu w obiekt zachowujące własności obiektu zanurzanego (to, o jakie własności chodzi, zależy od rozważanej teorii).

Istnienie zanurzenia implikuje istnienie w obiekcie podzbioru „identycznego” z obiektem

Teoria kategorii[edytuj | edytuj kod]

W teorii kategorii odpowiednikiem zanurzenia jest monomorfizm. W zależności od rozpatrywanej kategorii, np. Set, Top, Gr, VectK, monomorfizmami są odwzorowania różnowartościowe, homeomorfizmy, homomorfizmy różnowartościowe, przekształcenia liniowe różnowartościowe[1].

Teoria mnogości[edytuj | edytuj kod]

W teorii zbiorów zanurzeniem zbioru w zbiór jest funkcja różnowartościowa

Zbiór można wtedy utożsamić ze zbiorem gdzie

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Jeśli dla zbiorów i istnieją zanurzenia

i

to istnieje funkcja różnowartościowa że

[2].

Twierdzenie to jest równoważne twierdzeniu Cantora-Bernsteina.

Dowód

Można założyć, że jest podzbiorem a funkcja realizuje to zawieranie. Niech będzie ciągiem określonym rekurencyjnie:

Niech Wtedy oraz

Funkcja

jest bijekcją, bo

skąd wynika, że jest injekcją (czyli odwzorowaniem różnowartościowym) oraz

skąd wynika, że jest surjekcją (czyli odwzorowaniem „na”)[3].

Topologia[edytuj | edytuj kod]

Topologia ogólna[edytuj | edytuj kod]

W topologii ogólnej zanurzeniem przestrzeni w przestrzeń nazywa się odwzorowanie takie że przestrzeń jest homeomorficzna ze swoim obrazem

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Okrąg jest homeomorficzny z dowolną krzywą zamknięta zwyczajna (z łukiem zamkniętym) w przestrzeni Oznacza to, że można okrąg zanurzyć w przestrzeni znajdując odwzorowanie różnowartościowe (zanurzenie), takie że obrazem okręgu jest pewna krzywa
  • W szczególności można badać łuki zamknięte na płaszczyźnie. Mogą one być regularne, jak płatki śniegu.

Mogą także przyjmować formy nieregularne.

Twierdzenie Jordana: Każdy łuk zamknięty na płaszczyźnie rozcina ją na dwa obszary i jest ich wspólnym ograniczeniem[4].

Teoria węzłów zajmuje się zanurzeniami okręgu w przestrzeń trójwymiarową.

Tablica wszystkich węzłów pierwszych z co najwyżej siedmioma punktami skrzyżowania

Topologia różniczkowa[edytuj | edytuj kod]

W topologii różniczkowej zanurzeniem przestrzeni w przestrzeń jest dyfeomorfizm

Twierdzenie teorii rozmaitości gładkich[edytuj | edytuj kod]

Zwarta -wymiarowa rozmaitość gładka klasy gładkości (tzn. razy różniczkowalna) może być regularnie i dyfeomorficznie zanurzona w przestrzeń euklidesową o wymiarze Klasa gładkości dyfeomorfizmu jest równa [5].

Np. butelkę Kleina można dyfeomorficznie zanurzyć w przestrzeń euklidesową 5-wymiarową.

Topologia metryczna[edytuj | edytuj kod]

Zanurzeniem przestrzeni metrycznej w przestrzeń metryczną jest izometria

Algebra[edytuj | edytuj kod]

W algebrze zanurzeniami są homomorfizmy różnowartościowe struktur algebraicznych.

Teoria grup[edytuj | edytuj kod]

Homomorfizm grupy multiplikatywnej w grupę multiplikatywną jest zanurzeniem, jeśli

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Grupę obrotów płaszczyzny dokoła punktu (np. początku układu współrzędnych) można zanurzyć w grupę multiplikatywną ciała liczb zespolonych
gdzie dla kąta

Grupę można zatem utożsamić z okręgiem jednostkowym na płaszczyźnie zespolonej

Teoria ciał[edytuj | edytuj kod]

Teoria pierścieni[edytuj | edytuj kod]

Teoria modułów[edytuj | edytuj kod]

  • Niech będzie pierścieniem przemiennym z jedynką. Podzbiorem multiplikatywnie zamkniętym w jest zbiór zawierający 1 i zamknięty względem mnożenia[10]. Niech będzie modułem nad pierścieniem Na iloczynie kartezjańskim można określić relację równoważności „”:
⇔ dla pewnego zachodzi równość

Klasy równoważności tej relacji nazywa się ułamkami i oznacza się je a ich zbiór modułem ułamków Podobnie można określić pierścień ułamków Zbiór jest modułem nad pierścieniem Wtedy jeśli

jest zanurzeniem modułu w moduł

to odwzorowanie

jest zanurzeniem i [11].

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Semadeni, Wiweger, op. cit., s. 280–283.
  2. Kuratowski, Mostowski, op. cit., s. 12–13.
  3. Janusz Kaja, O twierdzeniu Cantora-Bernsteina.
  4. Wstęp do teorii mnogości i topologii, op. cit., s. 228–241.
  5. Pontriagin, op. cit., s. 21–22.
  6. Browkin J.: Teoria ciał. Wyd. 1. T. 49. Warszawa: PWN, 1977, s. 64, seria: Biblioteka Matematyczna.
  7. J. Browkin, op. cit., s. 65.
  8. Lang S.: Algebra. Warszawa: PWN, 1973, s. 189.
  9. Balcerzyk S., Józefiak T.: Pierścienie przemienne. Warszawa: PWN, 1985, s. 30. ISBN 83-01-04874-3.
  10. Zamkniętość względem mnożenia oznacza, że jeśli
  11. Атья М., Макдональд И.: Введеие в коммутативную алгебру. Москва: Мир, 1972, s. 52. (ros.)

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Z. Semadeni, A. Wiweger: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Wyd. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 45.
  • Jiri Adámek, Horst Herrlich, George E. Strecker: Abstract and Concrete Categories (ang.). 2005-01-18. [dostęp 2011-08-26].
  • K. Kuratowski, A. Mostowski: Teoria mnogości. Wyd. 2. T. 27. Warszawa: PWN, 1966, seria: Monografie Matematyczne.
  • K. Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. 2. T. 9. Warszawa: PWN, 1962, seria: Biblioteka Matematyczna.
  • Л.С. Понтрягин: Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. Wyd. 2. Москва: Наука, 1976.
  • J. Browkin: Teoria ciał. Wyd. 1. T. 49. Warszawa: PWN, 1977, seria: Biblioteka Matematyczna.
  • S. Lang: Algebra. Warszawa: PWN, 1973.
  • S. Balcerzyk, T. Józefiak: Pierścienie przemienne. Wyd. 1. T. 58. Warszawa: PWN, 1985, seria: Biblioteka Matematyczna. ISBN 83-01-04874-3.
  • М. Атья, И. Макдональд: Введеие в коммутативную алгебру. Москва: Мир, 1972. (ros.)