Zanurzenie (matematyka)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Zanurzenie – w matematyce oznacza różnowartościowe odwzorowanie f: A \rightarrow B jednego obiektu A w inny B z zachowaniem własności obiektu zanurzanego. To, o jakie własności chodzi, zależy od rozważanej teorii. Istnienie takiego zanurzenia implikuje istnienie w B podzbioru "identycznego" z A. Zanurzenie nazywa się też często włożeniem.

Teoria kategorii[edytuj | edytuj kod]

W teorii kategorii odpowiednikiem zanurzenia jest monomorfizm. W zależności od rozpatrywanej kategorii, np. Set, Top, Gr, VectK, monomorfizmami są odwzorowania różnowartościowe, homeomorfizmy, homomorfizmy różnowartościowe, przekształcenia liniowe różnowartościowe[1].

Teoria mnogości[edytuj | edytuj kod]

W teorii zbiorów zanurzeniem zbioru A\; w zbiór B\; jest funkcja różnowartościowa f: A \hookrightarrow B\;. Zbiór A\; można wtedy utożsamić ze zbiorem

f(A)\subset B.

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Można udowodnić, że jeśli dla dwóch zbiorów A\; i B\; istnieją zanurzenia

f: A \hookrightarrow B\; i g: B \hookrightarrow A\;,

to istnieje taka funkcja różnowartościowa h: B \rightarrow A, że

h(B) = A\,[2].

Twierdzenie to jest równoważne twierdzeniu Cantora-Bernsteina.

Dowód. Można założyć, że A\; jest podzbiorem B\;, a funkcja f = id_A\; realizuje to zawieranie. Niech Z_n\; będzie ciągiem określonym rekurencyjnie:

Z_0 = B \setminus A, Z_{n + 1} = g(Z_n)\, \text{dla} \, n = 0, 1, 2, \ldots

Niech Z = \bigcup \limits_{n = 0}^{\infty} Z_n. Wtedy g(Z) = \bigcup \limits_{n = 1}^{\infty} Z_n \subset A oraz B \setminus Z = B \setminus (B \setminus A \cup g(Z)) = A \setminus g(Z).

Funkcja

h(x) =
\begin{cases}
g(x) & \text{dla } x \in Z\\
x & \text{dla } x \in B \setminus Z
\end{cases}

jest bijekcją, bo

Z \cap (B \setminus Z) = \varnothing,
h(Z) \cap h(B \setminus Z) = g(Z) \cap (A \setminus g(Z)) = \varnothing,

skąd wynika, że h\; jest injekcją (czyli odwzorowaniem różnowartościowym) oraz

h(Z) \cup h(B \setminus Z) = g(Z) \cup (A \setminus g(Z)) = A

skąd wynika, że h\; jest surjekcją (czyli odwzorowaniem "na")[3].

Topologia[edytuj | edytuj kod]

Topologia ogólna[edytuj | edytuj kod]

W topologii ogólnej zanurzeniem przestrzeni A w przestrzeń B jest homeomorfizm f: A \hookrightarrow B.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Krzywa zamknięta zwyczajna (łuk zamknięty) w przestrzeni topologicznej \mathcal T to zbiór homeomorficzny z okręgiem, czyli obraz okręgu w przestrzeni \mathcal T w pewnym zanurzeniu.

W szczególności można badać łuki zamknięte na płaszczyźnie. Mogą one być regularne, jak płatki śniegu.

Mogą także przyjmować formy nieregularne.

Jest prawdziwe twierdzenie Jordana, które mówi, że każdy łuk zamknięty na płaszczyźnie rozcina ją na dwa obszary i jest ich wspólnym ograniczeniem[4].

Teoria węzłów zajmuje się zanurzeniami okręgu w przestrzeń trójwymiarową.

Tablica wszystkich węzłów pierwszych z co najwyżej siedmioma punktami skrzyżowania


Topologia różniczkowa[edytuj | edytuj kod]

W topologii różniczkowej zanurzeniem przestrzeni A w przestrzeń B jest dyfeomorfizm f: A \hookrightarrow B.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Jedno z ważnych twierdzeń teorii rozmaitości gładkich mówi, że:

Zwarta k-wymiarowa rozmaitość gładka klasy gładkości m > 1 (tzn. m razy różniczkowalna) może być regularnie i dyfeomorficznie zanurzona w przestrzeń euklidesową E^{2k + 1} o wymiarze 2k + 1. Klasa gładkości dyfeomorfizmu jest równa m[5].

W szczególności butelkę Kleina można dyfeomorficznie zanurzyć w przestrzeń euklidesową 5-wymiarową.

Topologia metryczna[edytuj | edytuj kod]

Zanurzeniem przestrzeni metrycznej A w przestrzeń metryczną B jest izometria f: A \hookrightarrow B.

Algebra[edytuj | edytuj kod]

W algebrze zanurzeniami są homomorfizmy różnowartościowe struktur algebraicznych.

Teoria grup[edytuj | edytuj kod]

Homomorfizm h: H \rightarrow G\; grupy multyplikatywnej H\; w grupę multyplikatywną G\; jest zanurzeniem, jeśli ker (h) = \{1\}\;.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Grupę SO_2(\mathbb{R}) obrotów płaszczyzny dokoła punktu (np. początku układu współrzędnych) można zanurzyć w grupę multyplikatywną ciała liczb zespolonych \mathbb{C}^{*}
\exp: R^{\alpha}_O \mapsto e^{i\alpha},
gdzie R^{\alpha}_O =
\begin{bmatrix}
\cos{\alpha} & -\sin{\alpha}\\
\sin{\alpha} & \cos{\alpha}
\end{bmatrix} \in SO_2(\mathbb{R}) dla kąta \alpha \in \langle 0; 2\pi).

Grupę SO_2(\mathbb{R}) można zatem utożsamić z okręgiem jednostkowym na płaszczyźnie zespolonej \{e^{i\alpha}: \alpha \in \langle 0; 2\pi)\}

Teoria ciał[edytuj | edytuj kod]

Teoria pierścieni[edytuj | edytuj kod]

Teoria modułów[edytuj | edytuj kod]

  • Niech P będzie pierścieniem przemiennym z jedynką. Podzbiorem multyplikatywnie zamkniętym S w P jest zbiór zawierający 1 i zamknięty względem mnożenia[10]. Niech M będzie modułem nad pierścieniem P. Na iloczynie kartezjańskim M × S można określić relację równoważności ≡
(m, s) ≡ (m1, s1) ⇔ dla pewnego tS zachodzi równość t (m s1 - m1 s) = 0.

Klasy równoważności tej relacji nazywa się ułamkami i oznacza się je m/s, a ich zbiór modułem ułamków S-1M. Podobnie można określić pierścień ułamków S-1P. Zbiór S-1M jest modułem nad pierścieniem S-1P. Wtedy jeśli

f: N \hookrightarrow M jest zanurzeniem modułu N w moduł M,

to odwzorowanie

S^{-1}f(n/s) = f(n)/s\;

jest zanurzeniem S -1N i S -1M[11].


Przypisy

  1. Semadeni, Wiweger, op. cit., ss. 280-283
  2. Kuratowski, Mostowski, op. cit., ss.12-13
  3. Janusz Kaja O twierdzeniu Cantora-Bernsteina
  4. Wstęp do teorii mnogości i topologii, op. cit., s. 228-241
  5. Pontriagin, op. cit., ss. 21-22
  6. Browkin J.: Teoria ciał. Wyd. 1. T. 49. Warszawa: PWN, 1977, s. 64, seria: Biblioteka Matematyczna.
  7. Browkin J., op. cit., s. 65
  8. Lang S.: Algebra. Warszawa: PWN, 1973, s. 189.
  9. Balcerzyk S., Józefiak T.: Pierścienie przemienne. Warszawa: PWN, 1985, s. 30. ISBN 83-01-04874-3.
  10. Zamkniętość S względem mnożenia oznacza, że x yS, jeśli x, yS.
  11. Атья М., Макдональд И.: Введеие в коммутативную алгебру. Москва: Мир, 1972, s. 52. (ros.)

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Zbigniew Semadeni, Antoni Wiweger: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Wyd. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 45.
  2. Jiri Adámek, Horst Herrlich, George E. Strecker: Abstract and Concrete Categories (ang.). 2005-01-18. [dostęp 2011-08-26].
  3. Kuratowski K., Mostowski A.: Teoria mnogości. Wyd. 2. T. 27. Warszawa: PWN, 1966, seria: Monografie Matematyczne.
  4. Kuratowski K.: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. 2. T. 9. Warszawa: PWN, 1962, seria: Biblioteka Matematyczna.
  5. Понтрягин Л. С.: Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. Wyd. 2. Москва: Наука, 1976.
  6. Browkin J.: Teoria ciał. Wyd. 1. T. 49. Warszawa: PWN, 1977, seria: Biblioteka Matematyczna.
  7. Lang S.: Algebra. Warszawa: PWN, 1973.
  8. Balcerzyk S., Józefiak T.: Pierścienie przemienne. Wyd. 1. T. 58. Warszawa: PWN, 1985, seria: Biblioteka Matematyczna. ISBN 83-01-04874-3.
  9. Атья М., Макдональд И.: Введеие в коммутативную алгебру. Москва: Мир, 1972. (ros.)