Zanurzenie (matematyka)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Zanurzenie (włożenie) – odwzorowanie różnowartościowe obiektu w obiekt zachowujące własności obiektu zanurzanego (to, o jakie własności chodzi, zależy od rozważanej teorii).

Istnienie zanurzenia implikuje istnienie w obiekcie podzbioru "identycznego" z obiektem .

Teoria kategorii[edytuj]

W teorii kategorii odpowiednikiem zanurzenia jest monomorfizm. W zależności od rozpatrywanej kategorii, np. Set, Top, Gr, VectK, monomorfizmami są odwzorowania różnowartościowe, homeomorfizmy, homomorfizmy różnowartościowe, przekształcenia liniowe różnowartościowe[1].

Teoria mnogości[edytuj]

W teorii zbiorów zanurzeniem zbioru w zbiór jest funkcja różnowartościowa .

Zbiór można wtedy utożsamić ze zbiorem , gdzie .

Twierdzenie[edytuj]

Jeśli dla zbiorów i istnieją zanurzenia

i ,

to istnieje funkcja różnowartościowa , że

[2].

Twierdzenie to jest równoważne twierdzeniu Cantora-Bernsteina.

Dowód.

Można założyć, że jest podzbiorem , a funkcja realizuje to zawieranie. Niech będzie ciągiem określonym rekurencyjnie:

Niech . Wtedy oraz .

Funkcja

jest bijekcją, bo

,
,

skąd wynika, że jest injekcją (czyli odwzorowaniem różnowartościowym) oraz

skąd wynika, że jest surjekcją (czyli odwzorowaniem "na")[3].

Topologia[edytuj]

Topologia ogólna[edytuj]

W topologii ogólnej zanurzeniem przestrzeni w przestrzeń nazywa się odwzorowanie , takie że przestrzeń jest homeomorficzna ze swoim obrazem .

Przykłady[edytuj]

  • Okrąg jest homeomorficzny z dowolną krzywą zamknięta zwyczajna (z łukiem zamkniętym) w przestrzeni . Oznacza to, że można okrąg zanurzyć w przestrzeni , znajdując odwzorowanie różnowartościowe (zanurzenie), takie że obrazem okręgu jest pewna krzywa .
  • W szczególności można badać łuki zamknięte na płaszczyźnie. Mogą one być regularne, jak płatki śniegu.

Mogą także przyjmować formy nieregularne.

Twierdzenie Jordanaː Każdy łuk zamknięty na płaszczyźnie rozcina ją na dwa obszary i jest ich wspólnym ograniczeniem[4].

Teoria węzłów zajmuje się zanurzeniami okręgu w przestrzeń trójwymiarową.

Tablica wszystkich węzłów pierwszych z co najwyżej siedmioma punktami skrzyżowania


Topologia różniczkowa[edytuj]

W topologii różniczkowej zanurzeniem przestrzeni w przestrzeń jest dyfeomorfizm .

Twierdzenie teorii rozmaitości gładkich[edytuj]

Zwarta k-wymiarowa rozmaitość gładka klasy gładkości m > 1 (tzn. m razy różniczkowalna) może być regularnie i dyfeomorficznie zanurzona w przestrzeń euklidesową o wymiarze 2k + 1. Klasa gładkości dyfeomorfizmu jest równa m[5].

Np. butelkę Kleina można dyfeomorficznie zanurzyć w przestrzeń euklidesową 5-wymiarową.

Topologia metryczna[edytuj]

Zanurzeniem przestrzeni metrycznej w przestrzeń metryczną jest izometria .

Algebra[edytuj]

W algebrze zanurzeniami są homomorfizmy różnowartościowe struktur algebraicznych.

Teoria grup[edytuj]

Homomorfizm grupy multyplikatywnej w grupę multyplikatywną jest zanurzeniem, jeśli .

Przykłady[edytuj]

  • Grupę obrotów płaszczyzny dokoła punktu (np. początku układu współrzędnych) można zanurzyć w grupę multyplikatywną ciała liczb zespolonych
,
gdzie dla kąta .

Grupę można zatem utożsamić z okręgiem jednostkowym na płaszczyźnie zespolonej

Teoria ciał[edytuj]

Teoria pierścieni[edytuj]

Teoria modułów[edytuj]

  • Niech P będzie pierścieniem przemiennym z jedynką. Podzbiorem multyplikatywnie zamkniętym S w P jest zbiór zawierający 1 i zamknięty względem mnożenia[10]. Niech M będzie modułem nad pierścieniem P. Na iloczynie kartezjańskim M × S można określić relację równoważności ≡
(m, s) ≡ (m1, s1) ⇔ dla pewnego tS zachodzi równość t (m s1m1 s) = 0.

Klasy równoważności tej relacji nazywa się ułamkami i oznacza się je m/s, a ich zbiór modułem ułamków S-1M. Podobnie można określić pierścień ułamków S-1P. Zbiór S-1M jest modułem nad pierścieniem S-1P. Wtedy jeśli

jest zanurzeniem modułu N w moduł M,

to odwzorowanie

jest zanurzeniem S -1N i S -1M[11].


Przypisy

  1. Semadeni, Wiweger, op. cit., ss. 280-283
  2. Kuratowski, Mostowski, op. cit., ss.12-13
  3. Janusz Kaja O twierdzeniu Cantora-Bernsteina
  4. Wstęp do teorii mnogości i topologii, op. cit., s. 228-241
  5. Pontriagin, op. cit., ss. 21-22
  6. Browkin J.: Teoria ciał. Wyd. 1. T. 49. Warszawa: PWN, 1977, s. 64, seria: Biblioteka Matematyczna.
  7. Browkin J., op. cit., s. 65
  8. Lang S.: Algebra. Warszawa: PWN, 1973, s. 189.
  9. Balcerzyk S., Józefiak T.: Pierścienie przemienne. Warszawa: PWN, 1985, s. 30. ISBN 83-01-04874-3.
  10. Zamkniętość S względem mnożenia oznacza, że x yS, jeśli x, yS.
  11. Атья М., Макдональд И.: Введеие в коммутативную алгебру. Москва: Мир, 1972, s. 52. (ros.)

Bibliografia[edytuj]

  1. Z. Semadeni, A. Wiweger: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Wyd. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 45.
  2. Jiri Adámek, Horst Herrlich, George E. Strecker: Abstract and Concrete Categories (ang.). 2005-01-18. [dostęp 2011-08-26].
  3. K. Kuratowski, A. Mostowski: Teoria mnogości. Wyd. 2. T. 27. Warszawa: PWN, 1966, seria: Monografie Matematyczne.
  4. K. Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. 2. T. 9. Warszawa: PWN, 1962, seria: Biblioteka Matematyczna.
  5. Л. С. Понтрягин: Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. Wyd. 2. Москва: Наука, 1976.
  6. J. Browkin: Teoria ciał. Wyd. 1. T. 49. Warszawa: PWN, 1977, seria: Biblioteka Matematyczna.
  7. S. Lang: Algebra. Warszawa: PWN, 1973.
  8. S. Balcerzyk, T. Józefiak: Pierścienie przemienne. Wyd. 1. T. 58. Warszawa: PWN, 1985, seria: Biblioteka Matematyczna. ISBN 83-01-04874-3.
  9. М. Атья, И. Макдональд: Введеие в коммутативную алгебру. Москва: Мир, 1972. (ros.)