Prawo Stefana-Boltzmanna

Zależność promieniowania ciała doskonale czarnego od temperatury. Jaśniejsza linia – promieniowanie według przybliżonego prawa Wiena

Prawo Stefana-Boltzmanna – prawo opisujące całkowitą moc wypromieniowywaną przez ciało doskonale czarne w danej temperaturze.

Prawo zostało opracowane doświadczalnie przez Jožefa Stefana w 1878 r., a wykazane na podstawie praw termodynamicznych w 1884 r. przez Ludwiga Boltzmanna.

Wzór

$\Phi =\sigma T^{4},$

gdzie:

$\Phi$ – strumień energii wypromieniowywany z jednostki powierzchni ciała [$\mathrm {W/m^{2}}$],

$\sigma$ – stała Stefana-Boltzmanna,

$T$ – temperatura w skali Kelvina.

Stała Stefana-Boltzmanna wynosi:

$\sigma ={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15h^{3}c^{2}}}=5{,}670367(13)\times 10^{-8}\mathrm {\frac {W}{m^{2}K^{4}}} .$

Wyprowadzenie

Prawo Stefana-Boltzmanna można wyprowadzić, korzystając z rozkładu Bosego-Einsteina dla fotonów zamkniętych w pudełku o objętości V. Średnia energia fotonów w danej temperaturze T wynosi:

$\langle E\rangle =\int \limits _{0}^{\infty }\hbar \omega \rho (\omega ){\frac {1}{\exp \left({\frac {\hbar \omega }{kT}}\right)-1}}\mathrm {d} \omega ,$

gdzie:

$\omega$ – częstotliwość fotonów,

$\rho (\omega )$ – gęstość stanów dla fotonów,

$\hbar$ – stała Diraca,

$k$ – stała Boltzmanna.

Podstawienie wartości

$\rho (\omega )={\frac {V\omega ^{2}}{\pi ^{2}c^{3}}}$

daje

$\langle E\rangle ={\frac {V\hbar }{\pi ^{2}c^{3}}}\int \limits _{0}^{\infty }\omega ^{3}{\frac {1}{\exp \left({\frac {\hbar \omega }{kT}}\right)-1}}\mathrm {d} \omega .$

Wartością tej całki jest:

$\langle E\rangle ={\frac {6V\hbar }{\pi ^{2}c^{3}}}\left({\frac {kT}{\hbar }}\right)^{4}\zeta (4),$

gdzie:

$\zeta (4)$ – wartość funkcji zeta Riemanna.

Powyższy wynik jest równoważny prawu Stefana-Boltzmanna.

Zobacz też

• wektor Poyntinga