Prawo Stefana-Boltzmanna

Prawo Stefana-Boltzmanna opisuje całkowitą moc wypromieniowywaną przez ciało doskonale czarne w danej temperaturze. Zostało opracowane w 1879 przez Jožefa Stefana i Ludwiga Boltzmanna.

$\Phi =\sigma T^{4}\,$$\Phi =\sigma T^{4}\,$

gdzie

$\Phi$$\Phi$ - strumień energii wypromieniowywany z jednostki powierzchni ciała [$W/m^{2}$$W/m^{2}$]

$\sigma$$\sigma$ - stała Stefana-Boltzmanna

$T$$T$ - temperatura w skali Kelvina

Wyprowadzenie

Prawo Stefana-Boltzmanna można wyprowadzić korzystając z rozkładu Bosego-Einsteina dla fotonów zamkniętych w pudełku o objętości V. Średnia energia fotonów w danej temperaturze T wynosi:

$\langle E\rangle =\int \limits _{0}^{\infty }\hbar \omega \rho (\omega ){\frac {1}{\exp({\frac {\hbar \omega }{K_{B}T}})-1}}d\omega$$\langle E\rangle =\int \limits _{0}^{\infty }\hbar \omega \rho (\omega ){\frac {1}{\exp({\frac {\hbar \omega }{K_{B}T}})-1}}d\omega$

gdzie

$\omega$$\omega$ - częstotliwość fotonów

$\rho (\omega )$$\rho (\omega )$ - gęstość stanów dla fotonów

$\hbar$$\hbar$ - stała Diraca

$K_{B}$$K_{B}$ - stała Boltzmanna

Podstawienie wartości

$\rho (\omega )={\frac {V\omega ^{2}}{\pi ^{2}c^{3}}}$$\rho (\omega )={\frac {V\omega ^{2}}{\pi ^{2}c^{3}}}$

daje

$\langle E\rangle ={\frac {V\hbar }{\pi ^{2}c^{3}}}\int \limits _{0}^{\infty }\omega ^{3}{\frac {1}{\exp({\frac {\hbar \omega }{K_{B}T}})-1}}d\omega$$\langle E\rangle ={\frac {V\hbar }{\pi ^{2}c^{3}}}\int \limits _{0}^{\infty }\omega ^{3}{\frac {1}{\exp({\frac {\hbar \omega }{K_{B}T}})-1}}d\omega$

Wartością tej całki jest:

$\langle E\rangle ={\frac {6V\hbar }{\pi ^{2}c^{3}}}\left({\frac {K_{B}T}{\hbar }}\right)^{4}\zeta (4)$$\langle E\rangle ={\frac {6V\hbar }{\pi ^{2}c^{3}}}\left({\frac {K_{B}T}{\hbar }}\right)^{4}\zeta (4)$

gdzie

$\zeta (4)$$\zeta (4)$ - wartość funkcji zeta Riemanna

Powyższy wynik jest równoważny prawu Stefana-Boltzmanna.

Zobacz też

• wektor Poyntinga