Prawo Stefana-Boltzmanna

Zależność promieniowania ciała doskonale czarnego od temperatury. Jaśniejsza linia - promieniowanie wg przybliżonego prawa Wiena

Prawo Stefana-Boltzmanna – prawo opisujące całkowitą moc wypromieniowywaną przez ciało doskonale czarne w danej temperaturze.

Zostało opracowane w 1879 przez Jožefa Stefana i Ludwiga Boltzmanna.

$\Phi =\sigma T^{4}\,$

gdzie

$\Phi$ – strumień energii wypromieniowywany z jednostki powierzchni ciała [$W/m^{2}$]

$\sigma$ – stała Stefana-Boltzmanna

$T$ – temperatura w skali Kelvina

Stała Stefana-Boltzmanna wynosi:

$\sigma ={\frac {2\pi ^{5}k_{B}^{4}}{15h^{3}c^{2}}}=5{,}670367(13)\times 10^{-8}\mathrm {\frac {W}{m^{2}K^{4}}} ,$

Wyprowadzenie

Prawo Stefana-Boltzmanna można wyprowadzić korzystając z rozkładu Bosego-Einsteina dla fotonów zamkniętych w pudełku o objętości V. Średnia energia fotonów w danej temperaturze T wynosi:

$\langle E\rangle =\int \limits _{0}^{\infty }\hbar \omega \rho (\omega ){\frac {1}{\exp({\frac {\hbar \omega }{K_{B}T}})-1}}d\omega$

gdzie

$\omega$ – częstotliwość fotonów

$\rho (\omega )$ – gęstość stanów dla fotonów

$\hbar$ – stała Diraca

$K_{B}$ – stała Boltzmanna

Podstawienie wartości

$\rho (\omega )={\frac {V\omega ^{2}}{\pi ^{2}c^{3}}}$

daje

$\langle E\rangle ={\frac {V\hbar }{\pi ^{2}c^{3}}}\int \limits _{0}^{\infty }\omega ^{3}{\frac {1}{\exp({\frac {\hbar \omega }{K_{B}T}})-1}}d\omega$

Wartością tej całki jest:

$\langle E\rangle ={\frac {6V\hbar }{\pi ^{2}c^{3}}}\left({\frac {K_{B}T}{\hbar }}\right)^{4}\zeta (4)$

gdzie

$\zeta (4)$ – wartość funkcji zeta Riemanna

Powyższy wynik jest równoważny prawu Stefana-Boltzmanna.

Zobacz też

• wektor Poyntinga