Przejdź do zawartości

Przestrzeń parazwarta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Przestrzeń parazwartaprzestrzeń Hausdorffa o tej własności, że w każde jej pokrycie otwarte można wpisać pokrycie lokalnie skończone (tzn. takie, że dla każdego punktu przestrzeni istnieje takie otoczenie otwarte że ma niepusty przekrój ze skończoną liczbą elementów tego pokrycia). Słowa „wpisać” w definicji nie można zastąpić słowem „wybrać”. Niektórzy autorzy (na przykład Kenneth Kunen) pomijają założenie bycia przestrzenią Hausdorffa w definicji parazwartości. Pojęcie przestrzeni parazwartej zostało po raz pierwszy wprowadzone przez Jeana Dieudonné[1] w 1944 roku.

Przykłady

[edytuj | edytuj kod]

Przykłady przestrzeni parazwartych:

  • przestrzenie zwarte Hausdorffa
  • przestrzenie metryzowalne
  • regularne przestrzenie Lindelöfa (w niektórych źródłach pomijane jest słowo regularne); na przykład, prosta Sorgenfreya.
  • Jeżeli jest ciągiem przestrzeni topologicznych takim, że dla każdej liczby naturalnej przestrzeń jest parazwarta, to przestrzeń jest parazwarta.

Własności

[edytuj | edytuj kod]
  • Każda przestrzeń parazwarta jest normalna[1] i kolektywnie normalna.
  • Domknięta podprzestrzeń przestrzeni parazwartej jest parazwarta.
  • Przestrzeń topologiczna jest metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest parazwarta i lokalnie metryzowalna.
  • Twierdzenie Michaela: Parazwartość jest niezmiennikiem przekształceń domkniętych.
  • Parazwartość jest niezmiennikiem przekształceń doskonałych.
  • Przestrzeń topologiczna jest parazwarta wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej przestrzeni zwartej iloczyn kartezjański jest przestrzenią normalną.

Uogólnienia

[edytuj | edytuj kod]

Także pojęcie parazwartości doczekało się dalszych uogólnień. W literaturze wyróżnia się co najmniej kilkanaście typów przestrzeni topologicznych rozszerzających pojęcie przestrzeni parazwartej. Dla przykładu:

Przestrzeń topologiczną nazywamy:

  • przeliczalnie parazwartą, jeśli w każde jej przeliczalne pokrycie otwarte można wpisać pokrycie lokalnie skończone.
  • -parazwartą, jeśli w każde jej pokrycie otwarte mocy można wpisać podpokrycie lokalnie skończone, gdzie jest pewną nieskończoną liczbą kardynalną.
  • subparazwartą, jeśli w każde jej pokrycie otwarte można wpisać pokrycie σ-lokalnie skończone.

Także w przypadku tych rodzajów przestrzeni pozostaje w mocy uwaga przy definicji przestrzeni parazwartej, dotycząca założenia hausdorffowości przestrzeni.

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. a b J. Dieudonne, Une generalisation des espaces compacts, J. Math. Pures Appl. (9) 23 (1944), s. 65-76.

Bibliografia

[edytuj | edytuj kod]