Przestrzeń Lindelöfa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Przestrzenie Lindelöfaprzestrzeń topologiczna o tej własności, że z dowolnego jej pokrycia otwartego można wybrać podpokrycie przeliczalne[1].

Istnieją pewne rozbieżności co do stosowania nazwy „przestrzeń Lindelöfa”: niektórzy autorzy (np. Engelking[1]) wymagają dodatkowo, by przestrzeń była ponadto regularna. Nazwa pojęcia została wprowadzona w 1929 roku przez Aleksandrowa i Urysohna[2] i pochodzi od nazwiska fińskiego matematyka, Ernsta Lindelöfa, który udowodnił w 1903 roku, że przestrzenie euklidesowe mają opisaną wyżej własność[3].

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Każda przestrzeń zwarta jest przestrzenią Lindelöfa.
  • Dowolna przestrzeń spełniająca drugi aksjomat przeliczalności jest przestrzenią Lindelöfa, lecz nie na odwrót – przestrzeń Lindelöfa nie musi spełniać drugiego aksjomatu przeliczalności; na przykład wspomniana wyżej prosta z topologią strzałki nie ma bazy przeliczalnej.
  • Każda domknięta podprzestrzeń przestrzeni Lindelöfa jest też przestrzenią Lindelöfa[1].
  • Suma rodziny niepustych przestrzeni topologicznych {Xs : s ∊ S} jest przestrzenią Lindelöfa wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór S jest przeliczalny oraz każdy składnik Xs jest przestrzenią Lindelöfa[1].
  • W każde pokrycie otwarte regularnej przestrzeni Lindelöfa można wpisać pokrycie otwarte lokalnie skończone.
  • Każda regularna przestrzeń Lindelöfa jest normalna[1].
  • Produkt przestrzeni Lindelöfa nie zawsze jest przestrzenią Lindelöfa. Np. Produkt dwóch kopii prostej z topologią strzałki nie jest przestrzenią normalną, mimo że jest regularny[4]. Istnieją modele teorii mnogości Zermela-Fraenkla (bez aksjomatu wyboru), w których produkt dwóch dowolnych przestrzeni Lindelöfa jest przestrzenią Lindelöfa[6].
  • Otwarta podprzestrzeń przestrzeni Lindelöfa nie musi być przestrzenią Lindelöfa; na przykład, każda przestrzeń topologiczna jest otwartą podprzestrzenią swojej kompaktyfikacji jednopunktowej (uzwarcenia w sensie Aleksandrowa)[potrzebny przypis].
  • Ciągły obraz przestrzeni Lindelöfa jest przestrzenią Lindelöfa[5].
  • Każda przeliczalnie zwarta przestrzeń Lindelöfa jest zwarta.
  • Przestrzeń metryczna jest przestrzenią Lindelöfa wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia drugi aksjomat przeliczalności oraz wtedy i tylko wtedy, gdy jest ośrodkowa.

Przypisy

  1. a b c d e Engelking 1989 ↓, s. 224.
  2. P. Alexandroff, P. Urysohn, Mémoire sur les espaces topologiques compacts dédié à Monsieur D. Egoroff. Verhandelingen Amsterdam 14, Nr. 1, (1929), s. 93.
  3. E. Lindelöf, Sur quelques points de la théorie des ensembles. C.R. Acad. Paris 137 (1903), s. 697–700.
  4. a b Engelking 1989 ↓, s. 226.
  5. a b Engelking 1989 ↓, s. 225.
  6. Horst Herrlich, Products of Lindelöf T2-spaces are Lindelöf – in some models of ZF, „Comment. Math. Univ. Carolinae”, 2 (43), 2002, s. 319–333 [zarchiwizowane z adresu].

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]