Prosta Sorgenfreya

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Prostą Sorgenfreya (prosta rzeczywista z topologią Sorgenfreya albo topologią strzałki, strzałka Niemyckiego) – zbiór liczb rzeczywistych z topologią wprowadzoną przez bazę:

\mathcal{B}=\big\{[a, b): a,b\in\mathbb{R}, a<b\big\}.

Nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska matematyka amerykańskiego, Roberta Sorgenfreya. Przestrzeń ta, podobnie jak płaszczyzna Niemyckiego czy zbiór Cantora, jest często wykorzystywanym kontrprzykładem w topologii ogólnej.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Topologia strzałki jest mocniejsza od naturalnej topologii (euklidesowej) na prostej. Wynika to stąd, że każdy przedział otwarty można przedstawić jako nieskończoną sumę przedziałów jednostronnie otwartych.
  • Dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b (a < b), przedział [a, b) jest zbiorem otwarto-domkniętym w topologii Sorgenfreya. Ponadto, dla dowolnego a ∈ ℝ, zbiory
\{x\in\mathbb{R}\colon\; x<a\}, \{x\in\mathbb{R}\colon\; x\geqslant a\}
są również otwarto-domknięte. Oznacza to, że prosta Sorgenfreya jest całkowicie niespójna.
Dowód. Podzbiór X ⊆ ℝ jest gęsty w ℝ w topologii Sorgenfreya wtedy i tylko wtedy, gdy jest gęsty w ℝ w zwykłej topologii euklidesowej. Niech (Vn) będzie ciągiem zbiorów otwartych i gęstych w ℝ w topologii Sorgenfreya. Dla każdego n niech Un oznacza wnętrze zbioru Vn w sensie topologii euklidesowej. Wówczas każdy ze zbiorów Un jest również jest gęsty w ℝ w zwykłej topologii euklidesowej. Ponieważ ℝ z topologią euklidesową jest przestrzenią Baire'a, część wspólna wszystkich zbiorów Un jest niepusta. W szczególności, część wspólna wszystkich zbiorów Vn jest niepusta, co kończy dowód. □

Przypisy

  1. Adam Emeryk, Władysław Kulpa. The Sorgenfrey line has no connected compactification. „Comm. Math. Univ. Carolinae 18”, s. 483–487, 1977. 

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Wyd. pierwsze. Warszawa: PWN, 1976.
  • Arthur Steen Lynn, J. Arthur Seebach: Counterexamples in Topology. New York: Springer-Verlag, 1978, s. 75–76.