Równania telegrafistów

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Równania telegrafistów (równania linii długiej) – pary liniowych równań różniczkowych, które opisują zmiany zespolonej amplitudy napięcia i prądu wzdłuż linii długiej z uwzględnieniem odległości oraz czasu. Równania zostały skonstruowane przez Oliviera Heaviside'a. Teoria dotyczy wysokoczęstotliwościowych linii długich (takich jak linie telegraficzne), ale jest również ważna dla projektowania linii przesyłowych o wysokim napięciu elektrycznym. Model najłatwiej przedstawić na elementarnym odcinku dwuprzewodowej linii długiej, w którym ważną rolę gra dobrze przewodzący metal wykorzystany w kablach oraz izolujący materiał dielektryczny zastosowany do oddzielenia przewodników[1]. Proces zmian napięcia oraz prądu w takim modelu zakłada, że wywołanie przyrostu napięcia na jednym końcu linii nie daje natychmiastowego pojawienia się takiego samego przyrostu na drugim końcu linii. Przyjmuje się zatem, że propagacja zachodzi tylko w jednym wymiarze wzdłuż linii długiej.

Równania[edytuj]

Równania telegrafistów mogą być rozumiane jako uproszczony przypadek równań Maxwella. W praktyczniejszym podejściu przyjmuje się, że przewodniki składają się z nieskończonego szeregu składników elementarnych, z których każdy reprezentuje nieskończenie krótki odcinek linii przesyłowej:

  • rozprowadzony opór R przewodnika jest reprezentowany przez opornik szeregowy (wyrażony w omach na jednostkę długości)
  • rozprowadzona indukcyjność L jest przedstawiona przez cewkę indukcyjną (henr na jednostkę długości)
  • pojemność elektryczna C między dwoma przewodnikami jest reprezentowana przez kondensator bocznika C (farad na jednostkę długości)
  • przewodność czynna G dielektrycznego materiału rozdzielającego dwa przewodniki jest reprezentowana przez upływność czynną (siemens na jednostkę długości)

Napięcie oraz prąd opisane są równaniami różniczkowymi, tylko i wyłącznie przy spełnieniu następujących dwóch założeń:

  • Linia nie zmienia swoich wymiarów, średnicy przewodów, ich odległości oraz przenikalności izolatora otaczającego przewody.

Zespolone amplitudy prądu U(z) i I(z) jednorodnej linii długiej związane są prostymi równaniami różniczkowymi ze stałą γ, zwaną stałą propagacji.

Identyczne równania uzyskuje się z równań Maxwella dla pól E i H. Równania te zwane są równaniami falowymi.

Równania telegrafistów wyraża się za pomocą R, L, C i G by podkreślić, że wartości są pochodnymi w związku do długości.

Linia bezstratna[edytuj]

Kiedy elementy R i G są bardzo małe, to ich wpływ może być pominięty, a linia przesyłowa może być traktowana jak idealna struktura bezstratna. W tym przypadku model zależy tylko od elementów L i C i uzyskuje się parę równań różniczkowych pierwszego rzędu, w których jedna funkcja opisuje napięcie elektryczne U wzdłuż kabla, zaś druga natężenie prądu, obie jako funkcje położenia x i czasu t:

Ich kombinacja liniowa daje dwa równania funkcji falowych:

W stanie stacjonarnym (zakładając falę sinusoidalną ) równania te redukują się do:

gdzie – częstość fali w stanie stacjonarnym

Jeśli linia ma nieskończoną długość albo gdy jest skończona i ma określoną impedancję falową, równania dają rozwiązanie w postaci fali przemieszczającej się z prędkością

Linia stratna[edytuj]

Gdy elementy straty R i G nie są pomijalne, oryginalne równania różniczkowe opisujące segment elementarny linii przybiera postać:

Po zróżniczkowaniu pierwszego równania po x i drugiego po t oraz po dalszych przekształceniach algebraicznych uzyskuje się równania, z których każde zawiera tylko jedną niewiadomą:

Kierunek propagacji fali[edytuj]

Powyższe równania wskazują na istnienie dwóch rozwiązań przemieszczania się fali, do przodu i do tyłu. Przyjmując uproszczenie linii bezstratnej (tj. R = 0 i G = 0), rozwiązanie można przedstawić równaniem:

gdzie:
liczba falowa (jednostka: radian na metr)
ω – częstość kołowa (radian na sekundę)
f1 i f2 – dowolne funkcje
prędkość fazowa fali

Ponieważ równania telegrafistów wiążą natężenie prądu z napięciem, można zapisać analogiczne równanie dla natężenia prądu

gdzie Z0 jest impedancją falową linii przesyłowej, która dla linii bezstratnej jest dana przez:

Przypisy