Równanie falowe

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Równanie falowe – matematyczne równanie różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu opisujące ruch falowy.

Ogólną postacią równania falowego jest:

gdzie oznacza zbiór liczb rzeczywistych nieujemnych.

W równaniu funkcja jest niewiadomą opisującą wychylenie fali w punkcie w chwili Zadane są początkowe położenie fali oraz początkowy impuls Fizycznie stała oznacza prędkość rozchodzenia się fali w danym ośrodku (np. prędkość fali dźwiękowej to 343 m/s dla powietrza w temp 20 stopni C). Symbol to Laplasjan.

Skrótowo można wyrazić równanie falowe używając operatora d’Alemberta:

Rozwiązania równania falowego mają różne postaci i własności w zależności od parzystości wymiaru przestrzeni. Najważniejsze równania falowe to przypadki

Równanie falowe jest ważne w mechanice kwantowej, gdyż opisuje falę de Broglie’a:

Równanie falowe można wyprowadzić z równań Maxwella.

Rozwiązania równania falowego[edytuj | edytuj kod]

Równanie struny i wzór d’Alemberta[edytuj | edytuj kod]

Jednowymiarowe równanie falowe nazywa się równaniem struny lub równaniem fali płaskiej. Ma ono postać:

Bez uwzględnienia warunków brzegowych rozwiązaniem jest:

gdzie są dowolnie wybrane.

Przy założeniu regularności oraz uwzględnieniu warunku brzegowego rozwiązaniem jest:

Jest to wzór d’Alemberta. Równanie struny jest wówczas poprawnie postawione.

Równanie struny półnieskończonej[edytuj | edytuj kod]

Struna półnieskończona to jednowymiarowa struna przymocowana na stałe z jednego końca. Matematycznie odpowiada dodaniu dodatkowego warunku brzegowego:

dla dowolnego

Rozwiązaniem zagadnienia struny półnieskończonej jest:

Równanie falowe w wymiarze 3 i wzór Kirchhoffa[edytuj | edytuj kod]

Równanie falowe dla ma postać

Rozwiązanie równania można wyprowadzić za pomocą średnich sferycznych. Przy założeniu regularności rozwiązaniem jest:

Jest to wzór Kirchhoffa.

Równanie falowe w wymiarze 2 i wzór Poissona[edytuj | edytuj kod]

Równanie falowe dla można rozwiązać metodą spadku. Przy założeniu regularności rozwiązaniem jest:

Niejednorodne równanie falowe w wymiarze 3[edytuj | edytuj kod]

Niejednorodne równanie falowe to równanie postaci:

Równanie to można rozwiązać metodą całek Duhamela. Wynikiem jest:

Zaburzenia fali rozchodzą się więc po 4-wymiarowym stożku

Zasada Huygensa[edytuj | edytuj kod]

Zasada Huygensa opisuje pewną własność rozwiązania równania falowego, w zależności od parzystości wymiaru przestrzeni. Podamy ją na przykładzie oraz

Załóżmy, że funkcje f, g mają zwarte nośniki

Niech Ze wzoru Kirchhoffa wynika wówczas, że tylko w pewnym skończonym czasie Zatem falę, np. dźwiękową, zgodnie z doświadczeniem, słychać od pewnego momentu, przez skończony czas.

Inaczej dzieje się dla Ze wzoru Poissona wynika, iż fala zaczyna brzmieć i nigdy nie przestaje, choć jej amplituda maleje jak

Radiacyjna strzałka czasu[edytuj | edytuj kod]

Równanie falowe opisuje fale zarówno wychodzące ze źródła (opóźnione), jak i wchodzące do źródła (przyspieszone). Mimo to obserwuje się tylko te pierwsze. Tę asymetrię nazywa się radiacyjną strzałką czasu. Najbardziej fundamentalną teorią, w której występuje równanie falowe i ten efekt, jest elektrodynamika klasyczna. Z tego względu mówi się też o elektromagnetycznej strzałce czasu[1].

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]