Równanie falowe – matematyczne równanie różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu opisujące ruch falowy.
Ogólną postacią równania falowego jest:
![{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial {}^{2}}{\partial t^{2}}}u-c^{2}\cdot \triangle _{x}u=0,&u:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} _{+}\to {}\mathbb {R} ,x\in \mathbb {R} ^{n},t\in \mathbb {R} _{+}\\[2pt]u(x,0)=f(x),&f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} \\[2pt]{\frac {\partial {}}{\partial t}}u(x,0)=g(x),&g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} \end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f98a65f33f3f081a1098c688839a06ca92dcbec)
gdzie
oznacza zbiór liczb rzeczywistych nieujemnych.
W równaniu funkcja
jest niewiadomą opisującą wychylenie fali w punkcie
w chwili
Zadane są początkowe położenie fali
oraz początkowy impuls
Fizycznie stała
oznacza prędkość rozchodzenia się fali w danym ośrodku (np. prędkość fali dźwiękowej to 343 m/s dla powietrza w temp 20 stopni C). Symbol
to laplasjan.
Skrótowo można wyrazić równanie falowe używając operatora d’Alemberta:

Rozwiązania równania falowego mają różne postaci i własności w zależności od parzystości wymiaru przestrzeni. Najważniejsze równania falowe to przypadki
Równanie falowe jest ważne w mechanice kwantowej, gdyż opisuje falę de Broglie’a:

Równanie falowe można wyprowadzić z równań Maxwella.
Jednowymiarowe
równanie falowe nazywa się równaniem struny lub równaniem fali płaskiej. Ma ono postać:
![{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial {}^{2}}{\partial t^{2}}}u-c^{2}\cdot \triangle _{x}u=0,&u:\mathbb {R} \times \mathbb {R} _{+}\to {}\mathbb {R} \\u(x,0)=f(x),&f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \\[2pt]{\frac {\partial {}}{\partial t}}u(x,0)=g(x),&g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2d1cfe853daada8fe6097c5295f6b9c00f7f6c3)
Bez uwzględnienia warunków brzegowych rozwiązaniem jest:

gdzie
są dowolnie wybrane.
Przy założeniu regularności
oraz uwzględnieniu warunku brzegowego rozwiązaniem jest:

Jest to wzór d’Alemberta. Równanie struny jest wówczas poprawnie postawione.
Struna półnieskończona to jednowymiarowa struna przymocowana na stałe z jednego końca. Matematycznie odpowiada dodaniu dodatkowego warunku brzegowego:
dla dowolnego 
Rozwiązaniem zagadnienia struny półnieskończonej jest:
![{\displaystyle {\begin{cases}u(x,t)={\frac {f(x+ct)+f(x-ct)}{2}}+{\frac {1}{2c}}\int \limits _{x-ct}^{x+ct}{g(z)\mathrm {d} z},&x\geqslant {}ct\\[2pt]u(x,t)={\frac {f(x+ct)-f(ct-x)}{2}}+{\frac {1}{2c}}\int \limits _{ct-x}^{ct+x}{g(z)\mathrm {d} z},&x<ct\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b47ab28c35435d265c9095ce2ee89184e82f2178)
Równanie falowe dla
ma postać
![{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial {}^{2}}{\partial t^{2}}}u-c^{2}\cdot \triangle _{x}u=0,&u:\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} _{+}\to {}\mathbb {R} \\u(x,0)=f(x),&f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} \\[2pt]{\frac {\partial {}}{\partial t}}u(x,0)=g(x),&g:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} \end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a105b61b3322b6dc7f53ae62576a6c9a097f3b0d)
Rozwiązanie równania można wyprowadzić za pomocą średnich sferycznych. Przy założeniu regularności
rozwiązaniem jest:

Jest to wzór Kirchhoffa.
Równanie falowe dla
można rozwiązać metodą spadku. Przy założeniu regularności
rozwiązaniem jest:

Niejednorodne równanie falowe to równanie postaci:
![{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial {}^{2}}{\partial t^{2}}}u-c^{2}\cdot \triangle _{x}u=h(x,t),&u:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} _{+}\to {}\mathbb {R} ,x\in \mathbb {R} ^{n},t\in \mathbb {R} _{+}\\[2pt]u(x,0)=0,\\[2pt]{\frac {\partial {}}{\partial t}}u(x,0)=0,\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c56d99446005b254a5181ce7ff44b125c71e5c14)
Równanie to można rozwiązać metodą całek Duhamela.
Wynikiem jest:

Zaburzenia fali rozchodzą się więc po 4-wymiarowym stożku
Zasada Huygensa opisuje pewną własność rozwiązania równania falowego, w zależności od parzystości wymiaru przestrzeni. Podamy ją na przykładzie
oraz
Załóżmy, że funkcje f, g mają zwarte nośniki
Niech
Ze wzoru Kirchhoffa wynika wówczas, że
tylko w pewnym skończonym czasie
Zatem falę, np. dźwiękową, zgodnie z doświadczeniem, słychać od pewnego momentu, przez skończony czas.
Inaczej dzieje się dla
Ze wzoru Poissona wynika, iż fala zaczyna brzmieć i nigdy nie przestaje, choć jej amplituda maleje jak
Równanie falowe opisuje fale zarówno wychodzące ze źródła (opóźnione), jak i wchodzące do źródła (przyspieszone). Mimo to obserwuje się tylko te pierwsze. Tę asymetrię nazywa się radiacyjną strzałką czasu. Najbardziej fundamentalną teorią, w której występuje równanie falowe i ten efekt, jest elektrodynamika klasyczna. Z tego względu mówi się też o elektromagnetycznej strzałce czasu[1].