Równanie falowe

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Równanie falowe to matematyczne równanie różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu opisujące ruch falowy.

Ogólną postacią równania falowego jest:

gdzie oznacza zbiór liczb rzeczywistych nieujemnych. W równaniu funkcja jest niewiadomą opisującą wychylenie fali w punkcie w chwili . Zadane są początkowe położenie fali oraz początkowy impuls . Fizycznie stała oznacza prędkość rozchodzenia się fali w danym ośrodku (np. prędkość fali dźwiękowej to 343 m/s dla powietrza w temp 20 stopni C). Symbol to Laplasjan.

Skrótowo można wyrazić równanie falowe używając operatora d'Alemberta:

Rozwiązania równania falowego mają różne postaci i własności w zależności od parzystości wymiaru przestrzeni. Najważniejsze równania falowe to przypadki .

Równanie falowe jest ważne w mechanice kwantowej, gdyż opisuje falę de Broglie'a:

Równanie falowe można wyprowadzić z równań Maxwella.

Rozwiązania równania falowego[edytuj]

Równanie struny i wzór d'Alemberta[edytuj]

Jednowymiarowe () równanie falowe nazywa się równaniem struny lub równaniem fali płaskiej. Ma ono postać:

Bez uwzględnienia warunków brzegowych rozwiązaniem jest:

gdzie są dowolnie wybrane. Przy założeniu regularności oraz uwzględnieniu warunku brzegowego rozwiązaniem jest:

Jest to 'wzór d'Alemberta'. Równanie struny jest wówczas poprawnie postawione.

Równanie struny półnieskończonej[edytuj]

Struna półnieskończona to jednowymiarowa struna przymocowana na stałe z jednego końca. Matematycznie odpowiada dodaniu dodatkowego warunku brzegowego:

dla dowolnego

Rozwiązaniem zagadnienia struny półnieskończonej jest:

Równanie falowe w wymiarze 3 i wzór Kirchhoffa[edytuj]

Równanie falowe dla ma postać

Rozwiązanie równania można wyprowadzić za pomocą średnich sferycznych. Przy założeniu regularności rozwiązaniem jest:

Jest to wzór Kirchhoffa.

Równanie falowe w wymiarze 2 i wzór Poissona[edytuj]

Równanie falowe dla można rozwiązać metodą spadku. Przy założeniu regularności rozwiązaniem jest:

Niejednorodne równanie falowe w wymiarze 3[edytuj]

Niejednorodne równanie falowe to równanie postaci:

Równanie to można rozwiązać metodą całek Duhamela. Wynikiem jest:

Zaburzenia fali rozchodzą się więc po 4-wymiarowym stożku .

Zasada Huygensa[edytuj]

Zasada Huygensa opisuje pewną własność rozwiązania równania falowego, w zależności od parzystości wymiaru przestrzeni. Podamy ją na przykładzie oraz .

Załóżmy, że funkcje f, g mają zwarte nośniki .

Niech . Ze wzoru Kirchhoffa wynika wówczas, że tylko w pewnym skończonym czasie . Zatem falę, np. dźwiękową, zgodnie z doświadczeniem, słychać od pewnego momentu, przez skończony czas.

Inaczej dzieje się dla . Ze wzoru Poissona wynika, iż fala zaczyna brzmieć i nigdy nie przestaje, choć jej amplituda maleje jak .

Referencje[edytuj]