Regularyzacja funkcją dzeta

Regularyzacja funkcją dzeta – rodzaj regularyzacji lub metoda sumowania, która przypisuje skończone wartości dla rozbieżnych szeregów lub iloczynów. Sposób ten jest obecnie powszechnie stosowany do rozwiązywania problemów fizycznych, lecz pierwotnie wywodzi się z prób nadania dokładnych znaczeń dla źle uwarunkowanych sum w teorii liczb.

Definicja formalna

Istnieje wiele różnych metod sumowania określanych mianem regularyzacji funkcją dzeta stosowanych do obliczenia wartości potencjalnie rozbieżnych szeregów $a_{1}+a_{2}+\ldots$

Jedną z metod jest zdefiniowanie sumy regularyzowanej funkcją dzeta jako $\zeta _{A}(-1),$ gdzie funkcja dzeta jest zdefiniowana dla dużych $\mathrm {Re} (s)$ jako

\zeta _{A}(s)={\frac {1}{a_{1}^{s}}}+{\frac {1}{a_{2}^{s}}}+\ldots

dla $s$ w których ten szereg jest zbieżny, lub stosując przedłużenie analityczne tej funkcji dla pozostałych wartości. W przypadku gdy $a_{n}=n$ zastosowana funkcja dzeta staje się zwykłą funkcją dzeta Riemanna. Taką metodę zastosował Euler do „zsumowania” szeregu 1 + 2 + 3 + 4 + …, obliczając $\zeta (-1)=-1/12.$

Inną metodą jest zdefiniowanie potencjalnie rozbieżnego iloczynu $a_{1}a_{2}\ldots$ jako $\exp(-\zeta '_{A}(0)).$ Ray i Sinker^[1] zastosowali tę metodę aby określić wyznacznik dodatniego operatora $A$ (laplasjanu rozmaitości riemannowskiej w ich zastosowaniu) z wartościami własnymi $a_{1},a_{2},\dots$ W tym konkretnym przypadku funkcja dzeta jest formalnie śladem $A^{-s}.$

Przykład

Przykładem zastosowania regularyzacji funkcją dzeta jest wyznaczenie wartości oczekiwanej energii próżni w kwantowej teorii pola. Uogólniając, funkcją dzeta można zastosować do regularyzacji całego tensora napięć-energii w zakrzywionej czasoprzestrzeni^[2]^[3].

Nieuregulowana wartość energii jest wyznaczona jako suma wszystkich stanów wzbudzonych energii punktu zerowego:

\langle 0|T_{00}|0\rangle =\sum _{n}{\frac {\hbar |\omega _{n}|}{2}},

w którym $T_{00}$ jest zerowym składnikiem tensora napięć a suma (która może być całką) jest rozumiana jako rozszerzenie na wszystkie (dodatnie i ujemne) stany energetyczne $\omega _{n};$ moduł podkreśla, że liczona jest energia całkowita. Suma ta, zapisana w tej postaci, jest zazwyczaj nieskończona (typowo $\omega _{n}$ jest w zależności liniowej z $n$ ). Może ona być uregularyzowana przez zapisanie jako

\langle 0|T_{00}(s)|0\rangle =\sum _{n}{\frac {\hbar |\omega _{n}|}{2}}|\omega _{n}|^{-s},

gdzie $s$ jest jakimś parametrem w dziedzinie liczb zespolonych. Dla liczb rzeczywistych $s$ większych niż 4 (dla przestrzeni trójwymiarowej), suma ta staje się skończona, a więc często może być wyliczona teoretycznie.

Taka suma ma zwykle biegun dla $s=4,$ z powodu masowego udziału pola kwantowego w przestrzeni trójwymiarowej. Jednak, dzięki przedłużeniu analitycznemu udaje się uzyskać wartości dla $s=0,$ w którym funkcja już bieguna nie ma, a więc wartość wyrażenia jest skończona. Szczegółową analizę tego rozwiązania można znaleźć w pracach na temat efektu Casimira.

Zobacz też

Przypisy

↑ D.B. Ray, I.M. Singer. R-torsion and the Laplacian on Riemannian manifolds. „Advances in Math.”. 7, s. 145–210, 1971. DOI: 10.1016/0001-8708(71)90045-4.
↑ V. Moretti, Direct z-function approach and renormalization of one-loop stress tensor in curved spacetimes, Phys. Rev.D 56, 7797 (1997).
↑ A. Bytsenko, G. Cognola, E. Elizalde, V. Moretti i S. Zerbini: Analytic Aspects of Quantum Fields. World Scientific Publishing, 2003. ISBN 981-238-364-6.

[1] D.B. Ray, I.M. Singer. R-torsion and the Laplacian on Riemannian manifolds. „Advances in Math.”. 7, s. 145–210, 1971. DOI: 10.1016/0001-8708(71)90045-4.

[2] V. Moretti, Direct z-function approach and renormalization of one-loop stress tensor in curved spacetimes, Phys. Rev.D 56, 7797 (1997).

[3] A. Bytsenko, G. Cognola, E. Elizalde, V. Moretti i S. Zerbini: Analytic Aspects of Quantum Fields. World Scientific Publishing, 2003. ISBN 981-238-364-6.

[1]

[2]

[3]