Rozszerzenie normalne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Rozszerzenie normalne - rozszerzenie ciała takie, że dla każdego elementu, który należy do rozszerzenia, a nie należy do ciała, każdy wielomian nierozkładalny, którego ten element jest pierwiaskiem, rozkłada się na czynniki liniowe w pierścieniu wielomianów o współczynnikach z rozszerzenia. Rozszerzenia normalne odgrywają dużą rolę w teorii Galois.

Definicja[edytuj]

Rozszerzenie ciała nazywamy normalnym wtedy i tylko wtedy, gdy jest algebraiczne i dla każdego wielomian nierozkładalny , którego pierwiastkiem jest rozkłada się w na czynniki liniowe.

Warunki równoważne[edytuj]

Niech będzie skończonym rozszerzeniem ciała . Następujące warunki są równoważne.

  1. jest rozszerzeniem normalnym.
  2. jest ciałem rozkładu pewnego wielomianu o współczynnikach z ciała .
  3. Dla każdego zanurzenia
,

gdzie oznacza algebraiczne domknięcie ciała .

Własności[edytuj]

Jeśli są ciałami oraz , a ponadto rozszerzenie jest normalne, to rozszerzenie również.

Przykłady[edytuj]

  • Rozszerzenie jest normalne, bo jest ciałem rozkładu wielomianu .