Złożenie funkcji

Złożenie (superpozycja) funkcji – podstawowa operacja w matematyce, polegająca na tym, że efekt kolejnego stosowania dwóch (lub więcej) funkcji (ze zbioru w zbiór), a także przekształceń, odwzorowań, transformacji, relacji dwuargumentowych, traktuje się jako wynik stosowania jednej funkcji (lub relacji) złożonej.

Definicja

Niech $f:X\to Y$ oraz $g:Y\to Z$ będą dowolnymi funkcjami. Ich złożeniem nazywamy funkcję $h:X\to Z$ taką, że:

$h(x)=g\left(f(x)\right)$ dla $x\in X$.

Funkcje $f$ oraz $g$ nazywa się funkcjami składanymi, zaś $h$ nosi również nazwę funkcji złożonej.

Składanie dwóch funkcji można traktować jako operator dwuargumentowy, oznaczany $\circ$. Dla powyższych funkcji

$h=g\circ f$,

zatem dla dowolnego $x$ z dziedziny funkcji $f$ mamy równość:

$h(x)=g\left(f(x)\right)=(g\circ f)(x)$.

Własności

Łączność operatora składania oznacza, że $f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h$, czyli złożenie funkcji nie zależy od kolejności obliczania kolejnych złożeń. Stąd uprawniony jest zapis $f\circ g\circ h$.

Z istnienia złożenia $g\circ f$ nie wynika istnienie $f\circ g$. Jest to możliwe wtedy, gdy zbiór $X$ jest tożsamy z $Z$. Mamy wówczas $f\circ g\colon Y\to Y$, w takim przypadku $f\circ g$ na ogół różni się od funkcji $g\circ f$.

Przykład

Niech $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,f(x)=2x+1$ i $g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,g(x)=x^{2}$. Wtedy

$(g\circ f)\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;(g\circ f)(x)=(2x+1)^{2}=4x^{2}+4x+1$, natomiast

$(f\circ g)\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;(f\circ g)(x)=2(x^{2})+1=2x^{2}+1$.

Widać, iż $g\circ f$ jest inna niż $f\circ g$.

Struktura grupy

Operacja składania funkcji jest jednym z najważniejszych działań na funkcjach: na wielu interesujących zbiorach funkcji w naturalny sposób określa ona strukturę półgrupy lub grupy.

Przykład

• $\Sigma _{X}$, czyli grupa symetryczna danego zbioru $X$, oznaczana również przez $S_{X}$ albo $\operatorname {Sym} (X)$, czyli grupa wszystkich bijekcji $f\colon X\to X$.
• Zbiór wszystkich odwzorowań $f\colon X\to X$ jest półgrupą, a nawet monoidem, w którym rolę elementu neutralnego pełni odwzorowanie tożsamościowe.

Składanie funkcji samej ze sobą

Jeżeli $f\colon X\to X$, to można wykonać złożenie $f$ samą ze sobą – otrzymaną funkcję $f\circ f$ oznacza się zazwyczaj $f^{2}$. Analogicznie, $f^{3}=f\circ f\circ f$ itd. Takie wielokrotne składanie nazywa się iteracją.

Dodatkowo funkcję $f$, dla której $(f\circ f)(x)=x$ nazywamy inwolucją; jej przykładem w geometrii jest inwersja.

Tradycyjnie f ² jest czasami rozumiane w inny sposób: mianowicie jako zwykły iloczyn funkcji (nazywany też iloczynem punktowym), czyli $f^{2}(x)=f(x)\cdot f(x)$ dla każdego $x\in X$. W szczególności umowa ta dotyczy funkcji trygonometrycznych, np. we wzorze: $\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1$ zapis $\sin ^{2}x$ oznacza właśnie $\sin x\cdot \sin x=(\sin x)^{2}$.

Zobacz też

• funkcja odwrotna
• reguła łańcuchowa
• teoria kategorii
• układ dynamiczny