Złożenie funkcji: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
m drobne redakcyjne |
→Własności: Matematyk nie będzie zaglądał do wikipedii, żeby dowiedzieć się co to takiego złożenie funkcji. Niestety, dla gimnazjalisty czy maturzysty, taka implikacja ["jeżeli… to…", czy matematycznie: poprzednik (funkcja wewnętrzna <math>f</math>) jest argumentem dla następnika (funkcji zewnętrznej <math>g</math>] jest czarną magią. Tej, wcale niemałej grupie użytkowników wikipedii, jasne wyjaśnienie na czym ta "czarna magia" złożenia funkcji polega, raczej się należy. |
||
Linia 17: | Linia 17: | ||
Łączność operatora składania oznacza, że <math>f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h,</math> czyli złożenie funkcji nie zależy od kolejności obliczania kolejnych złożeń. Stąd uprawniony jest zapis <math>f \circ g \circ h.</math> |
Łączność operatora składania oznacza, że <math>f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h,</math> czyli złożenie funkcji nie zależy od kolejności obliczania kolejnych złożeń. Stąd uprawniony jest zapis <math>f \circ g \circ h.</math> |
||
Istotną cechą złożenia funkcji, czyli immanentną cechą operatora <math>\circ</math>, jest nieprzemienność. Złożenie <math>g \circ f</math> oznacza relację: <math>g</math> «''po''» <math>f</math>, <math>g</math> «''z''» lub «''dzięki''» <math>f</math>, czy też <math>g</math> «''w skutek''» lub «''utworzony z''» <math>f</math> (eng. ''after, of, following, composed''). |
|||
Tak więc ze złożenia <math>g \circ f</math> nie jest tożsame z <math>f \circ g.</math> Jest to (wyjątkowo) możliwe tylko wtedy, gdy zbiór <math>X</math> jest tożsamy z <math>Z.</math> Mamy wówczas <math>f \circ g\colon Y \to Y,</math> w takim przypadku <math>f \circ g</math> na ogół różni się od funkcji <math>g \circ f.</math> |
|||
=== Przykład === |
=== Przykład === |
Wersja z 01:58, 23 maj 2019
Złożenie (superpozycja) funkcji – podstawowa operacja w matematyce, polegająca na tym, że efekt kolejnego stosowania dwóch (lub więcej) funkcji (ze zbioru w zbiór), a także przekształceń, odwzorowań, transformacji, relacji dwuargumentowych, traktuje się jako wynik stosowania jednej funkcji (lub relacji) złożonej.
Definicja
Niech oraz będą dowolnymi funkcjami. Ich złożeniem nazywamy funkcję taką, że:
- dla
Funkcje oraz nazywa się funkcjami składanymi, zaś nosi również nazwę funkcji złożonej.
Składanie dwóch funkcji można traktować jako operator dwuargumentowy, oznaczany Dla powyższych funkcji
zatem dla dowolnego z dziedziny funkcji mamy równość:
Własności
Łączność operatora składania oznacza, że czyli złożenie funkcji nie zależy od kolejności obliczania kolejnych złożeń. Stąd uprawniony jest zapis
Istotną cechą złożenia funkcji, czyli immanentną cechą operatora , jest nieprzemienność. Złożenie oznacza relację: «po» , «z» lub «dzięki» , czy też «w skutek» lub «utworzony z» (eng. after, of, following, composed).
Tak więc ze złożenia nie jest tożsame z Jest to (wyjątkowo) możliwe tylko wtedy, gdy zbiór jest tożsamy z Mamy wówczas w takim przypadku na ogół różni się od funkcji
Przykład
Niech i
Wtedy
natomiast
Widać, iż jest inna niż
Struktura grupy
- Osobny artykuł:
Operacja składania funkcji jest jednym z najważniejszych działań na funkcjach: na wielu interesujących matematyków zbiorach funkcji w naturalny sposób określa ona strukturę półgrupy lub grupy.
Przykład
- czyli grupa symetryczna danego zbioru oznaczana również przez albo czyli grupa wszystkich bijekcji
- Zbiór wszystkich odwzorowań jest półgrupą, a nawet monoidem, w którym rolę elementu neutralnego pełni odwzorowanie tożsamościowe.
Składanie funkcji samej ze sobą
Jeżeli to można wykonać złożenie samą ze sobą – otrzymaną funkcję oznacza się zazwyczaj Analogicznie, itd. Takie wielokrotne składanie nazywa się iteracją.
Dodatkowo funkcję dla której nazywamy inwolucją; jej przykładem w geometrii jest inwersja.
Tradycyjnie f ² jest czasami rozumiane w inny sposób: mianowicie jako zwykły iloczyn funkcji (nazywany też iloczynem punktowym), czyli dla każdego W szczególności umowa ta dotyczy funkcji trygonometrycznych, np. we wzorze: zapis oznacza właśnie