Rozmaitość liniowa: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Braniewiak (dyskusja | edycje) lit. |
|||
Linia 78: | Linia 78: | ||
Tak zdefiniowana równoległość nie jest relacją symetryczną, jest jedynie zwrotna i przechodnia<ref>[[:en:Nikolai Efimov|N. Jefimow]], E. Rozendorn, ''Algebra liniowa wraz z geometrią wielowymiarową'', wyd. II, Warszawa 1976.</ref>. |
Tak zdefiniowana równoległość nie jest relacją symetryczną, jest jedynie zwrotna i przechodnia<ref>[[:en:Nikolai Efimov|N. Jefimow]], E. Rozendorn, ''Algebra liniowa wraz z geometrią wielowymiarową'', wyd. II, Warszawa 1976.</ref>. |
||
W niektórych |
W niektórych źródłach<ref>[[Karol Borsuk|K. Borsuk]], ''Geometria analityczna wielowymiarowa'', wyd. V, Warszawa 1976.</ref> tę ogólniejszą niesymetryczną równoległość określa się ''równoległością'', a zdefiniowaną wyżej ''ścisłą równoległością''. |
||
== Przypisy == |
== Przypisy == |
Wersja z 22:26, 22 sie 2020
Rozmaitość liniowa – zbiór punktów przestrzeni afinicznej rozpiętej nad przestrzenią wektorową zdefiniowany następująco
dla pewnego punktu i pewnej podprzestrzeni wektorowej [1].
Punkt nazywany jest punktem początkowym rozmaitości liniowej, a podprzestrzeń wektorowa nazywana jest przestrzenią kierunkową rozmaitości[1].
Własności:
- Każdy punkt danej rozmaitości liniowej można przyjąć za jej punkt początkowy[2].
- Przestrzeń kierunkowa danej rozmaitości jest wyznaczona jednoznacznie[2].
Wymiar rozmaitości
Wymiarem rozmaitości nazywa się wymiar jej przestrzeni kierunkowej.
Jeśli więc przestrzeń kierunkowa rozmaitości ma wymiar to o rozmaitości mówi się Rozmaitość liniowa -wymiarowa[3].
Rozmaitość z przestrzenią kierunkową dla której
- nazywa się prostą,
- nazywa się płaszczyzną,
- nazywa się hiperpłaszczyzną[3].
Przykłady rozmaitości liniowych
Przykłady rozmaitości liniowych:
- Przestrzeń afiniczna jest rozmaitością liniową, której przestrzeń kierunkową stanowi przestrzeń wektorowa, nad którą rozpięta jest przestrzeń afiniczna, a punktem początkowym – dowolny punkt tej przestrzeni afinicznej[4];
- rozmaitość zerowymiarowa:
- Jeśli to rozmaitość Zatem rozmaitość jest zerowymiarowa wtedy i tylko wtedy, gdy jest jednopunktowa[5]
- proste równoległe:
- Niech będzie płaszczyzną kartezjańską. Rozpatrzmy przestrzeń afiniczną rozpiętą nad Niech będzie jednowymiarową podprzestrzenią przestrzeni liniowej Niech będzie punktem płaszczyzny Wtedy to prosta równoległa do prostej gdzie to początek układu współrzędnych[6] (patrz: rysunek obok).
Rozmaitości liniowe a przestrzenie afiniczne
Lemat
Dowód lematu
Jeśli to Zatem i istnieje taki wektor dla którego Stąd wynika, że [8].
Twierdzenie
Rozmaitość liniowa przestrzeni afinicznej rozpiętej nad przestrzenią wektorową jest przestrzenią afiniczną związaną z przestrzenią liniową [9].
Dowód twierdzenia
Jeśli to Stąd:
Rozważmy funkcję taką, że:
Łatwo zauważyć, że funkcja ta posiada następującą własność:
- [10].
Aby zakończyć dowód, wystarczy sprawdzić, czy funkcja spełnia aksjomatykę przestrzeni afinicznej.
Rzeczywiście, korzystając z tego, że dostaniemy
co oznacza, że spełnia I aksjomat przestrzeni afinicznej[10].
Z kolei jeśli to na mocy lematu[7] otrzymujemy A stąd
Czyli funkcja spełnia III aksjomat przestrzeni afinicznej[10].
Równoległość rozmaitości
Dwie rozmaitości liniowe danej przestrzeni afinicznej nazywa się równoległymi, jeśli mają tę samą przestrzeń kierunkową[11].
Relacja równoległości jest relacją równoważności.
Każde dwie rozmaitości równoległe są równe lub rozłączne[12].
W niektórych źródłach[13] dodatkowo żąda się, by rozmaitości równoległe nie posiadały punktów wspólnych. Tak rozumiana równoległość nie będzie jednak równoważnością, a każde dwie rozmaitości równoległe będą rozłączne.
Uwaga
Niektórzy autorzy przyjmują ogólniejszą definicję[14]:
Rozmaitość liniowa jest równoległa do rozmaitości liniowej gdy jest podprzestrzenią przestrzeni wektorowej tzn. gdy
Ta ogólniejsza definicja obejmuje np. przypadek równoległości prostej do płaszczyzny[15].
Tak zdefiniowana równoległość nie jest relacją symetryczną, jest jedynie zwrotna i przechodnia[16].
W niektórych źródłach[17] tę ogólniejszą niesymetryczną równoległość określa się równoległością, a zdefiniowaną wyżej ścisłą równoległością.
Przypisy
- ↑ a b Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s. 227, Definicja 12.8.
- ↑ a b Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s. 227, Twierdzenie 12.7.
- ↑ a b Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s. 227.
- ↑ Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s. 227, Przykład 1).
- ↑ Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s. 227, Przykład 2).
- ↑ Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s. 228, Przykład 3).
- ↑ a b Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s. 228, Twierdzenie 12.8.
- ↑ Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s. 228, Twierdzenie 12.8 – Dowód.
- ↑ Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s. 228, Twierdzenie 12.9.
- ↑ a b c Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s. 228, Twierdzenie 12.9 – Dowód.
- ↑ Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s. 228, Definicja 12.9.
- ↑ Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s. 228, Twierdzenie 12.10.
- ↑ Np. R.I. Tyszkiewicz, A.S. Fiedienko, Liniejnaja ałgiebra i analiticzieskaja gieometrija, Minsk 1976.
- ↑ Np. Algebra liniowa wraz z geometrią wielowymiarową (Jefimow, Rozendorn).
- ↑ Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s. 228, Twierdzenie 12.10 (1).
- ↑ N. Jefimow, E. Rozendorn, Algebra liniowa wraz z geometrią wielowymiarową, wyd. II, Warszawa 1976.
- ↑ K. Borsuk, Geometria analityczna wielowymiarowa, wyd. V, Warszawa 1976.