Zbieżność prawie wszędzie: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
lĩk |
→Teoria miary: nie może być w definicji wtedy i tylko wtedy |
||
Linia 5: | Linia 5: | ||
Niech <math> (X,\mathfrak{M}) </math> będzie [[Przestrzeń mierzalna|przestrzenią mierzalną]] oraz niech <math> \mu \colon \mathfrak{M} \longrightarrow [0,\infty] </math> będzie [[Miara (matematyka)|miarą]]. Niech <math> (Y,d) </math> będzie [[Przestrzeń metryczna|przestrzenią metryczną]], <math> A\in\mathfrak{M} </math> oraz <math> f_n, f \colon A \longrightarrow Y </math>. |
Niech <math> (X,\mathfrak{M}) </math> będzie [[Przestrzeń mierzalna|przestrzenią mierzalną]] oraz niech <math> \mu \colon \mathfrak{M} \longrightarrow [0,\infty] </math> będzie [[Miara (matematyka)|miarą]]. Niech <math> (Y,d) </math> będzie [[Przestrzeń metryczna|przestrzenią metryczną]], <math> A\in\mathfrak{M} </math> oraz <math> f_n, f \colon A \longrightarrow Y </math>. |
||
Mówimy, że ciąg <math> (f_n)_{n \in \mathbb{N}} </math> jest ''prawie wszędzie zbieżny do funkcji'' <math> f </math> (względem miary <math> \mu </math> na zbiorze <math> A </math>), |
Mówimy, że ciąg <math> (f_n)_{n \in \mathbb{N}} </math> jest ''prawie wszędzie zbieżny do funkcji'' <math> f </math> (względem miary <math> \mu </math> na zbiorze <math> A </math>), jeśli istnieje zbiór mierzalny <math> B \subset A, \mu(B) = 0 </math> taki, że |
||
: <math> \lim_{n\to\infty} f_n(x) = f(x) </math> dla <math> x\in A \setminus B . </math> |
: <math> \lim_{n\to\infty} f_n(x) = f(x) </math> dla <math> x\in A \setminus B . </math> |
||
Wersja z 19:34, 18 paź 2011
Zbieżność prawie wszędzie ciągu funkcji względem (pewnej) miary to rodzaj zbieżności ciągów funkcyjnych rozważany w teorii miary i analizie matematycznej. Pojęcie to pojawiło się w sferze zainteresowań matematyków z początkiem XX wieku. W teorii prawdopodobieństwa i statystyce znane jest ono pod nazwą zbieżność z prawdopodobieństwem 1 lub prawie na pewno.
Definicja
Teoria miary
Niech będzie przestrzenią mierzalną oraz niech będzie miarą. Niech będzie przestrzenią metryczną, oraz .
Mówimy, że ciąg jest prawie wszędzie zbieżny do funkcji (względem miary na zbiorze ), jeśli istnieje zbiór mierzalny taki, że
- dla
Ciąg funkcji jest więc zbieżny prawie wszędzie do funkcji , jeśli jest on zbieżny punktowo do funkcji poza zbiorem miary zero.
Teoria prawdopodobieństwa
Niech będzie przestrzenią probabilistyczną.
- Przypadek jednowymiarowy
Niech będą zmiennymi losowymi. Mówimy, że ciąg zmiennych losowych jest zbieżny z prawdopodobieństwem 1 (prawie na pewno) do zmiennej , jeżeli
- Przypadek wielowymiarowy
Niech będą wektorami losowymi. Mówimy, że ciąg wektorów losowych jest zbieżny z prawdopodobieństwem 1 (prawie na pewno) do wektora , jeżeli
gdzie oznacza normę euklidesową w
Uwagi
- Pojęcie zbieżności z prawdopodobieństwem 1 (prawie na pewno) jest odpowiednikiem zbieżności prawie wszędzie. W rachunku prawdopodobieństwa i statystyce terminy te są stosowane zamiennie.
- Zdanie: „ciąg jest prawie wszędzie zbieżny do funkcji ”, używając symboliki matematycznej zapisuje się krótko:
Własności
- Każdy ciąg zbieżny prawie jednostajnie jest zbieżny prawie wszędzie.
- Jeśli miara jest σ-skończona oraz ciąg jest -prawie wszędzie zbieżny do funkcji , to ciąg ten jest zbieżny według miary (do tej samej funkcji). W szczególności, jeśli ciąg zmiennych losowych określonych na danej przestrzeni probabilistycznej jest zbieżny z prawdopodobieństwem 1 to jest on zbieżny według prawdopodobieństwa.
Zobacz też
- zbieżność według miary
- zbieżność według rozkładu
- twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej
- twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności ograniczonej
Bibliografia
- Jarosław Bartoszewicz: Wykłady ze statystyki matematycznej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1989, s. 52. ISBN 83-01-09054-5.