Oscylator harmoniczny: Różnice pomiędzy wersjami

[wersja przejrzana]

Usunięta treść Dodana treść

Jednokolumnowy

Wersja z 01:30, 4 kwi 2015

Oscylator harmoniczny - układ drgający, poddany działaniu sił sprężystych tj. sił proporcjonalnych do przemieszczenia $r$ układu od położenia równowagi

$F(r)=-kr$

gdzie $k$ - tzw. stała sprężystości. W ogólności $r$ oznacza położenie układu w przestrzeni konfiguracyjnej. Model oscylatora harmonicznego pojawia się w różnych działach fizyki, przy czym przez oscylator harmoniczny rozumie często bardzo odmienne układy fizyczne, np. drgające wahadło, drgającą cząsteczkę czy drgający układ elektryczny, itd. Wyróżnia się klasyczny oscylator harmoniczny oraz kwantowy oscylator harmoniczny. Ten ostatni stosuje się do układów mikroskopowych, dla których prawa fizyki klasycznej przestają być słuszne.

Energia potencjalna oscylatora zależy od kwadratu przemieszczenia $r$ od położenia równowagi

$V(r)={\frac {k}{2}}r^{2}$

Energia potencjalna w tej postaci jest najprostszą postacią potencjału, którą pojawia się w przypadku drgań układów. Inne potencjały:

potencjał stały $V(r)={\text{const}}$ dotyczy ruchu układu swobodnego, tj. nie poddanego działaniu żadnych sił zewnętrznych (np. cząstka swobodna; cząstka ta porusza się ze stałą prędkością w przestrzeni)
potencjał liniowy $V(r)=c\cdot r$ $V(r)=c\cdot r$ , gdzie c- stała liczba
- w mechanice klasycznej potencjał ten oznacza, że na układ działa stała siła
- w mechanice kwantowej potencjał liniowy wymaga doprecyzowania, gdyż bez określenia warunków brzegowych problem jest źle postawiony (odpowiednie rozwiązanie równania Schrödingera bez warunków brzegowych ma nieograniczone z dołu widmo).

Wiele układów fizycznych można opisać za pomocą modelu oscylatora w sposób przybliżony, jeżeli układy te wykonują małe drgania (tj. o małej amplitudzie) w pobliżu położenia równowagi. Rozwijając potencjał w szereg Taylora w pobliżu minimum wystarczająco dokładne jest wtedy przybliżenie do wyrazów kwadratowych (przy założeniu że wyrazy te są niezerowe). W praktyce oznacza to, że wiele zagadnień świata realnego daje się sprowadzić do zagadnienia oscylatora harmonicznego. Przykładami takich zagadnień są:

1) W mechanice klasycznej

2) W mechanice kwantowej

drgania sieci krystalicznej
potencjał jądrowy
kropka kwantowa

Zagadnienie oscylatora harmonicznego jest ściśle rozwiązywalne zarówno w mechanice klasycznej jak i kwantowej.

Drgania inne niż harmoniczne (tzn. dla potencjałów opisywanych innymi zależnościami niż kwadratowe, bądź nie dające się do nich przybliżyć nazywa się drganiami anharmonicznymi. Poprawki do ruchu harmonicznego wynikające z innych zależności potencjału niż kwadratowa nazywa się poprawkami anharmonicznymi.

Zobacz też

@@ Linia 1: / Linia 1: @@
+'''Oscylator harmoniczny''' -  układ drgający, poddany działaniu sił sprężystych tj. sił proporcjonalnych do przemieszczenia <math>r</math> układu od położenia równowagi
-'''Oscylator harmoniczny''' -  model teoretyczny w [[nauki ścisłe|naukach ścisłych]] opisujący układ w parabolicznym potencjale — [[potencjał oscylatora harmonicznego]], bądź krócej [[potencjał harmoniczny]], czyli kwadratowa zależność potencjału od odległości <math>V\sim r^2</math>, gdzie ''r'' jest odległością w ''N''-wymiarowej przestrzeni, ''N'' zależy od konkretnej realizacji modelu. Ze względu na skalę modelowanych zjawisk wyróżnia się [[klasyczny oscylator harmoniczny]] oraz [[kwantowy oscylator harmoniczny]].
+<math> F(r)=-k r</math>
-Z matematycznego punktu widzenia [[potencjał paraboliczny]] jest najprostszym potencjałem lokalizującym, który warto rozważać teoretycznie. Prostsze potencjały nie są interesujące, gdyż:
+gdzie <math> k</math> - tzw. stała sprężystości. W ogólności <math>r</math> oznacza położenie układu w [[przestrzeń konfiguracyjna|przestrzeni konfiguracyjnej]]. Model oscylatora harmonicznego pojawia się w różnych działach fizyki, przy czym przez oscylator harmoniczny rozumie często bardzo odmienne układy fizyczne, np. drgające wahadło, drgającą cząsteczkę czy drgający układ elektryczny, itd. Wyróżnia się [[klasyczny oscylator harmoniczny]] oraz [[kwantowy oscylator harmoniczny]]. Ten ostatni stosuje się do układów mikroskopowych, dla których prawa fizyki klasycznej przestają być słuszne.
-* [[potencjał stały]] to [[cząstka swobodna]]
-* liniowa zależność
-** w [[mechanika klasyczna|mechanice klasycznej]] oznacza stałą siłę
-** w [[mechanika kwantowa|mechanice kwantowej]] potencjał liniowy wymaga doprecyzowania, gdyż bez określenia warunków brzegowych problem jest źle postawiony (odpowiednie rozwiązanie [[Równanie Schrödingera|równania Schrödingera]] bez warunków brzegowych ma nieograniczone z dołu widmo).
+Energia potencjalna oscylatora zależy od kwadratu przemieszczenia <math>r</math> od położenia równowagi
-Innym powodem, dla którego model oscylatora harmonicznego jest tak często eksploatowany w naukach ścisłych wynika z tego, że istnieje bardzo wiele funkcji potencjału, które można przybliżyć wokół minimum zależnością kwadratową. Matematycznym warunkiem byłaby istniejąca i nieznikająca druga pochodna funkcji potencjału w minimum. W praktyce oznacza to, że wiele zagadnień świata realnego daje się sprowadzić do zagadnienia oscylatora harmonicznego. Przykładami takich zagadnień są:
+<math>V(r)=\frac{k}{2}r^2</math>
-* [[mechanika klasyczna]]
-** [[wahadło matematyczne]]
-** [[wahadło fizyczne]]
-** [[masa na sprężynie]]
-** małe [[drgania harmoniczne]]
+Energia potencjalna w tej postaci  jest najprostszą postacią potencjału, którą pojawia się w przypadku [[Drgania|drgań]] układów. Inne potencjały:
-* [[mechanika kwantowa]]
-** drgania sieci krystalicznej
+* potencjał stały <math>V(r)=\text{const}</math> dotyczy ruchu '''układu swobodnego''', tj. nie poddanego działaniu żadnych sił zewnętrznych (np. [[cząstka swobodna]]; cząstka ta porusza się ze stałą prędkością w przestrzeni)
-** [[potencjał jądrowy]]
+* potencjał liniowy <math>V(r)=c\cdot r</math>, gdzie c- stała liczba
-** [[kropka kwantowa]]
+** w [[mechanika klasyczna|mechanice klasycznej]] potencjał ten oznacza, że na układ działa stała siła
+** w [[mechanika kwantowa|mechanice kwantowej]] potencjał liniowy wymaga doprecyzowania, gdyż bez określenia warunków brzegowych problem jest źle postawiony (odpowiednie rozwiązanie [[Równanie Schrödingera|równania Schrödingera]] bez warunków brzegowych ma nieograniczone z dołu widmo).
+Wiele układów fizycznych można opisać za pomocą modelu oscylatora w sposób przybliżony, jeżeli układy te wykonują '''małe drgania''' (tj. o małej amplitudzie) w pobliżu położenia równowagi. Rozwijając potencjał w [[Wzór Taylora|szereg Taylora]] w pobliżu minimum wystarczająco dokładne jest wtedy przybliżenie do wyrazów kwadratowych (przy założeniu że wyrazy te są niezerowe). W praktyce oznacza to, że wiele zagadnień świata realnego daje się sprowadzić do zagadnienia oscylatora harmonicznego. Przykładami takich zagadnień są:
-Zagadnienie oscylatora harmonicznego jest ściśle rozwiązywalne zarówno w mechanice klasycznej ([[klasyczny oscylator harmoniczny]]) jak i mechanice kwantowej ([[kwantowy oscylator harmoniczny]]).
+) W [[mechanika klasyczna|mechanice klasycznej]]
-Drgania inne niż harmoniczne (tzn. dla potencjałów opisywanych innymi zależnościami niż kwadratowymi, bądź nie dające się sprowadzić do [[potencjał harmoniczny|potencjału harmonicznego]]) określa się [[oscylator anharmoniczny|drganiami anharmonicznymi]].
+* [[wahadło matematyczne]]
-Poprawki do ruchu harmonicznego wynikające z innych zależności potencjału niż kwadratowa nazywa się [[poprawki anharmoniczne|poprawkami anharmonicznymi]].
+* [[wahadło fizyczne]]
+* [[masa na sprężynie]]
+* małe [[drgania harmoniczne]]
+) W [[mechanika kwantowa|mechanice kwantowej]]
+* drgania sieci krystalicznej
+* [[potencjał jądrowy]]
+* [[kropka kwantowa]]
+Zagadnienie oscylatora harmonicznego jest ściśle rozwiązywalne zarówno w mechanice klasycznej jak i kwantowej.
+Drgania inne niż harmoniczne (tzn. dla potencjałów opisywanych innymi zależnościami niż kwadratowe, bądź nie dające się do nich przybliżyć nazywa się [[oscylator anharmoniczny|drganiami anharmonicznymi]]. Poprawki do ruchu harmonicznego wynikające z innych zależności potencjału niż kwadratowa nazywa się poprawkami anharmonicznymi.
-== Nazewnictwo ==
-W związku z tym, że oscylator harmoniczny jest obecny we wszystkich dziedzinach fizyki, to bardzo często przez oscylator harmoniczny rozumie się konkretną realizację modelu. Nazwa ta jest używana wszędzie tam, gdzie nie budzi ona wątpliwości, a wyjaśnieniem jest kontekst, w jakim się pojawia.
 == Zobacz też ==
 * [[tłumienie|oscylator harmoniczny tłumiony]]
 * [[klasyczny oscylator harmoniczny]]
 * [[kwantowy oscylator harmoniczny]]
 * [[wahadło]]