Inwolucja (matematyka): Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie

[wersja nieprzejrzana]

← poprzednia edycja następna edycja →

Usunięta treść Dodana treść

WizualnieWikikod

Jednokolumnowy

Wersja z 01:02, 22 paź 2007

Definicja

Inwolucja – w matematyce to funkcja $f:X\rightarrow X$ , która jest funkcją odwrotną do samej siebie. Innymi słowy, dla dowolnego $x\;$ należącego do dziedziny funkcji $f\;$ zachodzi warunek $f(f(x))=x\;$ dla każdego $x\in X$ .

Ogólniej, w teorii kategorii morfizm $i:X\rightarrow X$ nazywamy inwolucją lub morfizmem inwolucyjnym, gdy $i\circ i=1_{X}$ .

Własności

Każda inwolucja jest bijekcją (każdy morfizm-inwolucja jest izomorfizmem).
n-krotne złożenie inwolucji dla parzystych n jest tożsamością:

f^{2\cdot k}(x)=x\;

dla dowolnego $x\;$ z dziedziny $f\;$ .

n-krotne złożenie inwolucji dla nieparzystych n jest jest tą samą funkcją:

f^{2\cdot k+1}(x)=f(x)\;

dla dowolnego $x\;$ z dziedziny $f\;$ .

Podobnie $i^{2\cdot n}=1_{X}$ oraz $i^{2\cdot n+1}=i$ dla dowolnego morfizmu inwolucyjnego $i:X\rightarrow X$ .

Niech X oraz Y będą dowolnymi zbiorami. Niech F := F(X, Y) bedzie zbiorem wszystkich funckcji zbioru X w zbiór Y. Niech s : Y → Y będzie inwolucją. Wtedy funkcja S : F → F, dana wzorem:

S(f)\;:=\;s\circ f

dla dowolnego f ε F, jest inwolucją. Podobnie, niech Z będzie zbiorem, oraz G := F(Y, Z). Zdefiniujmy T : G → G za pomocą wzoru:

T(g)\;:=\;g\circ s

dla dowolnego g ε G. Wtedy T : G → G jest inwolucją.

Powyższe dwie własności zachodzą ogólnie dla morfizmów w dowolnej kategorii.

Przykłady

Trywialnym przykładem inwolucji jest przekształcenie tożsamościowe.
Involucją jest funkcja s : A × A → A × A, kwadratu kartezjańskiego zbioru A w siebie, dana wzorem:

s(x, y) := (y, x) dla każdego (x, y) ε A × A.

Zbiorem punktów stałych inwolucji s jest przekątną

Δ _A := { (x, x) : x ε A }.

Wiele inwolucji jest indukowanych przez inwolucję typu s, na przykład transpozycja macierzy (samo s jest z kolei indukowane przez transpozycję zbioru 2-elementowego. t.zn. 2 osi).

Zmiana znaku $f(x)=-x\;$ jest inwolucją w zbiorze liczb całkowitych (a także wymiernych, rzeczywistych, zespolonych ...)
Odwrotność $f(x)={1 \over x}$ jest inwolucją na zbiorze liczb rzeczywistych różnych od zera.
W geometrii inwolucjami są symetrie (osiowa, środkowa) oraz inwersja
W rachunku zbiorów inwolucją jest dopełnienie zbioru.
W rachunku zbiorów różnica symetryczna z ustalonym zbiorem. (bo $(A{\dot {-}}B){\dot {-}}B=A$ ). Warunek ten jest często wykorzystywany w informatyce.
W informatyce inwolucją jest szyfr Rot13.
W zbiorze liczb zespolonych (a także kwaternionów) inwolucją jest sprzężenie.
W algebrze boole'a inwolucją jest dopełnienie.
W rachunku macierzy inwolucjami są transpozycja, sprzężenie, sprzężenie hermitowskie.

Geometria

W geometrii euklidesowej inwolucjami są symetrie zwierciadlane, osiowe, środkowe, a także inwersja. Izometrie zwierciadlane zmieniają orietację przestrzeni. Izometria środkowa zmienia orientację nieparzystowymiarowej przestrzeni euklidesowej, ale zachowuje parzystowymiarowej.

Twierdzenie (Bourbaki). Każda izometria n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej jest złożeniem co najwyżej n+1 symetrii zwierciadlanych.

Złożenia parzystej liczby izometrii zwierciadlanych zachowują orientację przestrzeni euklidesowej, a nieparzystej liczby – zmieniają.

Inwolucje są obiektem głębikich badań między innymi w topologii rozmaitości; patrz na przykład ^[1].

Teoria grup

Inwolucją nazywamy element rzędu dwa (czasami dopuszcza się też element rzędu 1 czyli element neutralny).

Pojęcie to bierze się stąd, że zbiór wszystkich bijekcji ustalonego zbioru tworzy grupę. W grupie tej inwolucje to elementy rzędu 2 i 1.

Permutacja jest inwolucją wtedy i tylko wtedy, gdy w jej rozkładzie na cykle występują tylko cykle długości 1 i 2. W szczególności, transpozycja dwóch elementów jest inwolucją. Każda permutacja zbioru n-elementowego (n - liczba naturalna) jest złożeniem co najwyżej n-1 transpozycji, a więc inwolucji.

Grupy Coxetera są generowane przez inwolucje (t.j. przez elementy rzędu 2). ^[2]

↑ S.López de Medrano, Involutions on Manifolds, Springer-Verlag, 1971.
↑ Bourbaki. Groupes et Algèbres de Lie, Hermann, Paris, Rozdział 4.1.

Zobacz też

działanie grupy na zbiorze.

[1] S.López de Medrano, Involutions on Manifolds, Springer-Verlag, 1971.

[2] Bourbaki. Groupes et Algèbres de Lie, Hermann, Paris, Rozdział 4.1.

[1]

[2]

@@ Linia 14: / Linia 14: @@
 dla dowolnego <math>x\;</math> z dziedziny <math>f\;</math>.
 Podobnie  &nbsp; <math>i^{2\cdot n} = 1_X</math> &nbsp; oraz &nbsp; <math>i^{2\cdot n+1} = i</math> &nbsp; &nbsp; dla dowolnego morfizmu inwolucyjnego&nbsp; <math>i : X \rightarrow X</math>.
+* Niech &nbsp;X oraz Y&nbsp; będą dowolnymi zbiorami. Niech&nbsp; F := F(X, Y) &nbsp; bedzie zbiorem wszystkich funckcji zbioru&nbsp; X&nbsp; w zbiór&nbsp; Y. Niech&nbsp; s : Y → Y &nbsp; będzie inwolucją. Wtedy funkcja&nbsp; S : F → F, dana wzorem:
+::<math>S(f)\; :=\; s \circ f</math>
+dla dowolnego&nbsp; f ε F,&nbsp; jest inwolucją. Podobnie, niech&nbsp; Z &nbsp; będzie zbiorem, oraz&nbsp; G := F(Y, Z).&nbsp; Zdefiniujmy&nbsp; T : G → G &nbsp; za pomocą wzoru:
+::<math>T(g)\; :=\; g \circ s</math>
+dla dowolnego&nbsp; g ε G.&nbsp; Wtedy&nbsp; T : G → G &nbsp; jest inwolucją.
+Powyższe dwie własności zachodzą ogólnie dla morfizmów w dowolnej kategorii.
 ==Przykłady==