Macierz transponowana (przestawiona ) macierzy
A
{\displaystyle A}
A
T
,
{\displaystyle A^{\mathrm {T} },}
w ogólności prostokątnej, w szczególności jednowierszowej czy o jednej kolumnie) poprzez zamianę jej wierszy na kolumny i kolumn na wiersze[1] transpozycją (przestawianiem ).
Jeżeli macierz
A
{\displaystyle A}
a
i
j
{\displaystyle a_{ij}}
a
i
j
{\displaystyle a_{ij}}
i
{\displaystyle i}
j
{\displaystyle j}
A
T
{\displaystyle A^{\mathrm {T} }}
a
i
j
T
,
{\displaystyle a_{ij}^{\mathrm {T} },}
a
i
j
T
=
a
j
i
.
{\displaystyle a_{ij}^{\mathrm {T} }=a_{ji}.}
(1) Transponować można macierz w ogólności prostokątną, np. gdy
A
=
[
2
3
1
4
−
1
2
0
1
2
2
0
1
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&3&1&4\\-1&2&0&1\\2&2&0&1\end{bmatrix}}}
to macierz transponowana ma postać:
A
T
=
[
2
−
1
2
3
2
2
1
0
0
4
1
1
]
.
{\displaystyle A^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}2&-1&2\\3&2&2\\1&0&0\\4&1&1\end{bmatrix}}.}
(2) W szczególności wektor kolumnowy przechodzi w wektor wierszowy, np. gdy
A
=
[
2
1
5
]
,
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}2\\1\\5\end{bmatrix}},}
to
A
T
=
[
2
,
1
,
5
]
.
{\displaystyle A^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}2,1,5\end{bmatrix}}.}
Transpozycja macierzy symetrycznej [ edytuj | edytuj kod ] Macierz symetryczna [2] przekątnej głównej , np.
[
7
0
0
0
]
,
[
2
1
3
1
6
7
3
7
9
]
.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}7&0\\0&0\end{bmatrix}},\quad {\begin{bmatrix}2&1&3\\1&6&7\\3&7&9\end{bmatrix}}.}
Transpozycja macierzy symetrycznej jest równa tej macierzy, tj.
A
T
=
A
.
{\displaystyle A^{\mathrm {T} }=A.}
Własności operacji transponowania [ edytuj | edytuj kod ] Tw. 1 . Niech
A
,
B
∈
M
n
×
m
(
K
)
,
{\displaystyle A,B\in M_{n\times m}(K),}
(
A
T
)
T
=
A
{\displaystyle (A^{\mathrm {T} })^{\mathrm {T} }=A}
[3]
(
α
A
)
T
=
α
A
T
,
α
∈
K
,
{\displaystyle (\alpha A)^{\mathrm {T} }=\alpha A^{\mathrm {T} },\quad \alpha \in K,}
(
A
+
B
)
T
=
A
T
+
B
T
.
{\displaystyle (A+B)^{\mathrm {T} }=A^{\mathrm {T} }+B^{\mathrm {T} }.}
Tw. 2 . Jeśli
A
∈
M
n
×
m
(
K
)
,
B
∈
M
m
×
o
(
K
)
,
{\displaystyle A\in M_{n\times m}(K),\ \ B\in M_{m\times o}(K),}
(
A
B
)
T
=
B
T
A
T
.
{\displaystyle (AB)^{\mathrm {T} }=B^{\mathrm {T} }A^{\mathrm {T} }.}
Tw. 3 . Dla macierzy kwadratowej: Transpozycja nie zmienia wyznacznika ani śladu macierzy, tj.
det
A
T
=
det
A
,
{\displaystyle \det A^{\mathrm {T} }=\det A,}
tr
(
A
T
)
=
tr
(
A
)
.
{\displaystyle \operatorname {tr} (A^{\mathrm {T} })=\operatorname {tr} (A).}
Niektóre Cechy niezależne
Cechy zależne
Operacje jednoargumentowe
dwuargumentowe
Niezmienniki Inne pojęcia
