Kwaterniony

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Kwaterniony (daw. czwarki Hamiltona[a][1]) – struktura algebraiczna (liczby) będąca rozszerzeniem ciała liczb zespolonych. Kwaterniony zostały wprowadzone przez irlandzkiego matematyka Williama Hamiltona w 1843 i służyły opisowi mechaniki w przestrzeni trójwymiarowej. Początkowo kwaterniony były uważane za twór patologiczny, ponieważ nie spełniały reguły przemienności (należy mieć na uwadze, iż kwaterniony pojawiły się przed macierzami). Kwaterniony znajdują zastosowanie tak w matematyce teoretycznej jak i stosowanej, zobacz sekcję Zastosowania.

Współczesna matematyka traktuje kwaterniony jako czterowymiarową, unormowaną algebrę z dzieleniem nad liczbami rzeczywistymi. Algebra kwaternionów jest oznaczana przez \mathbb H od pierwszej litery nazwiska twórcy. Zajmuje on specjalne miejsce w algebrze, ponieważ zgodnie z twierdzeniem Frobeniusa jest jednym z trzech skończenie wymiarowych pierścieni z dzieleniem zawierających liczby rzeczywiste jako podpierścień.

Konstrukcje[edytuj | edytuj kod]

Jest kilka sposobów konstruowania kwaternionów.

Kwaterniony jako macierze zespolone[edytuj | edytuj kod]

Kwaterniony zdefiniowane są jako macierze z przestrzeni M_{2 \times 2}(\mathbb C) postaci

\begin{bmatrix}
z & w\\
-\overline w & \overline z
\end{bmatrix} , gdzie z,w\in \mathbb C.

Podstawowe własności:

  • suma dwu kwaternionów jest kwaternionem;
\begin{bmatrix}
z & w\\
-\overline w & \overline z
\end{bmatrix}+
\begin{bmatrix}
p & q\\
-\overline q & \overline p
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
z+p & w+q\\
-\overline {(w+q)} & \overline {z+p}
\end{bmatrix}
  • podobnie iloczyn dwu kwaternionów jest kwaternionem:
\begin{bmatrix}
z & w\\
-\overline w & \overline z
\end{bmatrix} \cdot
\begin{bmatrix}
p & q\\
-\overline q & \overline p
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
zp-w\overline q & zq+w\overline p\\
-\overline {(zq+w\overline p)} & \overline {(zp-w\overline q)}
\end{bmatrix}
  • dla kwaternionu q \ne 0 istnieje kwaternion odwrotny do q zadany wzorem
q^{-1} = \begin{bmatrix}
z & w\\
-\overline w & \overline z
\end{bmatrix}^{-1}
=\frac{1}{|z|^2+|w|^2}\cdot 
\begin{bmatrix}
\overline z & -w\\
\overline w & z
\end{bmatrix}.
  • Macierz jednostkowa i zerowa
\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix},\ \ 
\begin{bmatrix}
0 & 0\\
0 & 0
\end{bmatrix}
są oczywiście kwaternionami
  • należy zauważyć, że np.
\begin{bmatrix}
i & 0\\
0 & -i
\end{bmatrix}\cdot 
\begin{bmatrix}
0 & 1\\
-1 & 0
\end{bmatrix} = \ -
\begin{bmatrix}
0 & 1\\
-1 & 0
\end{bmatrix}\cdot 
\begin{bmatrix}
i & 0\\
0 & -i
\end{bmatrix}
czyli mnożenie kwaternionów nie jest przemienne.

Kwaternion jako suma algebraiczna[edytuj | edytuj kod]

Kwaterniony w tej konstrukcji mają postać:

q=a\cdot \mathbf e+b\cdot\mathbf i+c\cdot\mathbf j+d\cdot\mathbf k, gdzie : a, b, c, d \in \mathbb R zaś \mathbf {e, i, j, k} są symbolami pewnych obiektów.

Dodawanie i mnożenie na tych sumach wykonujemy jak na wielomianach czterech zmiennych \mathbf{ e,  i,  j, k}, przy czym mnożenie „zmiennych” \mathbf {e, i, j, k} z uwzględnieniem ich kolejności określa poniższa tabelka:

tabelka mnożenia
× e i j k
e e i j k
i i −e k j
j j k −e i
k k j i −e

a \in \mathbb R nazywa się czasami częścią rzeczywistą kwaternionu q.

Izomorficzność tej konstrukcji z poprzednią macierzową wynika z zależności:

\begin{bmatrix}
z & w\\
-\overline w & \overline z
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
a+bi & c+di\\
-c+di & a-bi
\end{bmatrix}=

a\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix} +

b\begin{bmatrix}
i & 0\\
0 & -i
\end{bmatrix} +

c\begin{bmatrix}
0 & 1\\
-1 & 0
\end{bmatrix} +

d\begin{bmatrix}
0 & i\\
i & 0
\end{bmatrix}\quad

I wystarczy przyjąć oznaczenia:



\mathbf e=\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix},\quad

\mathbf i=\begin{bmatrix}
i & 0\\
0 & -i
\end{bmatrix},\quad

\mathbf j=\begin{bmatrix}
0 & 1\\
-1 & 0
\end{bmatrix},\quad

\mathbf k=\begin{bmatrix}
0 & i\\
i & 0
\end{bmatrix}\quad

Kwaternion jako para liczb zespolonych.[edytuj | edytuj kod]

W tej konstrukcji każdy kwaternion jest parą pewnych liczb zespolonych: q\ =\  (z, w), gdzie  z, w \in \mathbb C W tym zbiorze definiuje się działania:

  • dodawanie
(z, w)+(p,q)=(z+p,w+q),
  • mnożenie
(z,w)\cdot(p,q)\ =\ (zp-w\overline q ,\  zq+w\overline p)

Izomorficzność tej struktury z kwaternionami w postaci macierzowej wynika stąd, że zdefiniowana tu para liczb zespolonych jest pierwszym wierszem w macierzy definiującej kwaterniony, a pierwszy wiersz kwaternionu macierzowego jednoznacznie określa całą macierz.

Kwaternion jako macierz rzeczywista[edytuj | edytuj kod]

Innym sposobem zapisu macierzowego jest[2]

\begin{bmatrix}
 \;\; a & \;\; b & -d & -c \\ 
 -b & \;\; a & -c & \;\; d \\
 \;\; d & \;\; c & \;\; a & \;\; b \\
 \;\; c & -d & -b & \;\; a 
\end{bmatrix}, dla  a, b, c, d \in \mathbb R.

Własności algebraiczne kwaternionów[edytuj | edytuj kod]

Własności algebraiczne wynikają z własności algebry macierzy zespolonych M_{2 \times 2}(\mathbb C):

  • dodawanie kwaternionów jest łączne i przemienne, czyli (a+b)+c = a+(b+c) oraz a+b = b+a
  • mnożenie kwaternionów jest łączne, czyli (ab)c = a(bc), ale nie jest przemienne (np. \mathbf{ij}  \neq  \mathbf{ji})
  • zachodzą rozdzielności mnożenia względem dodawania, czyli
    • x(y+z)=xy+xz,
    • (y+z)x=yx+zx
  • każdy niezerowy element ma odwrotny do siebie.

Zbiór kwaternionów z dodawaniem jako działaniem tworzy więc grupę abelową. Zbiór niezerowych kwaternionów z mnożeniem jest grupą nieabelową. Ponieważ zachodzi rozdzielność obustronna mnożenia względem dodawania, kwaterniony z dwoma działaniami tworzą pierścień nieprzemienny z dzieleniem. Spełnione są więc wszystkie aksjomaty ciała z wyjątkiem przemienności ab = ba.

Niektóre podstruktury[edytuj | edytuj kod]

Ponieważ kwaterniony są uogólnieniem pewnych ciał liczbowych, można w nich zanurzyć te ciałami:

  • kwaterniony postaci r+0\mathbf  i+0\mathbf  j+0\mathbf  k, r \in \mathbb R można utożsamiać z liczbami rzeczywistymi,
  • następujące zbiory kwaternionów możemy utożsamiać z ciałem liczb zespolonych:
    • \{q=a+b\mathbf  i: a, b\in \mathbb R\},
    • \{q=a+b\mathbf  j: a, b\in \mathbb R\},
    • \{q=a+b\mathbf  k: a, b\in \mathbb R\}.

Grupa kwaternionów[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: Grupa kwaternionów.

Zbiór \{  \mathbf {e, -e, i, -i, j, -j, k, -k} \} z mnożeniem tworzy grupę zwaną grupą kwaternionów i oznaczaną symbolem Q_8 (od liczby elementów).

Sprzężenie[edytuj | edytuj kod]

Sprzężenie w kwaternionach jest funkcją określoną następująco:

dla postaci macierzowej:

\overline \begin{bmatrix}
z & w\\
-\overline w & \overline z
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\overline z & -w\\
\overline w & z
\end{bmatrix},

dla postaci algebraicznej:

\overline{a\mathbf e+b\mathbf i+c\mathbf j+d\mathbf k}=a\mathbf e-b\mathbf i-c\mathbf j-d\mathbf k

dla postaci par liczb zespolonych:

\overline{(z,w)}=(\overline z,-w).

Własności sprzężenia

  •  \overline {q+w}= \overline q + \overline w ,
  •  \overline {qw}= \overline w \cdot \overline q ,
  •  \overline{\overline {q}}= q .

Wyznacznik i moduł[edytuj | edytuj kod]

Wyznacznik kwaternionu  q definiuje wzór:

dla postaci macierzowej:

\det q= \det\begin{vmatrix}
z & w\\
-\overline w & \overline z
\end{vmatrix} = |z|^2+|w|^2,

dla postaci algebraicznej:

\det q=\det (a\mathbf e+b\mathbf i+c\mathbf j+d\mathbf k)=a^2+b^2+c^2+d^2

dla par liczb zespolonych:

\det q=\det (z,w) = |z|^2+|w|^2.

Oczywiście dla   q \ne 0

 \det q > 0,

Moduł jest to pierwiastek z wyznacznika:

|q|=\sqrt{\det q}

Własności modułu

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Niech

x=2+3i+4k
y=2+3j+2k

Wtedy

x+y=4+3i+3j+6k,
xy=(2+3i+4k)(2+3j+2k)=
=2(2+3j+2k)+3i(2+3j+2k)+4k(2+3j+2k)=
=4+6j+4k+6i+9ij+6ik+8k+12kj+8k^2=
=4+6j+4k+6i+9k+6(-j)+8k+12(-i)+8(-1)=
=-4-6i+21k

Geometryczna interpretacja mnożenia[edytuj | edytuj kod]

Jak liczbę zespoloną tak i kwaternion można przedstawić w postaci sumy części rzeczywistej oraz urojonej a + \mathrm v. W tej postaci a \in \mathbb R, zaś \mathrm v \in \mathbb R^3 jest wektorem trójwymiarowym. Wtedy iloczyn dwóch wektorów urojonych można wyrazić jako: \mathrm{vw} = -(\mathrm v \cdot \mathrm w) + \mathrm v \times \mathrm w, a dwóch kwaternionów - jako: (a + \mathrm v)(b + \mathrm w) = ab - (\mathrm v \cdot \mathrm w) + a\mathrm w + b\mathrm v + \mathrm v \times \mathrm w. We wzorach tych kropka oznacza iloczyn skalarny, a krzyżyk iloczyn wektorowy w przestrzeni trójwymiarowej.

Obroty przestrzeni trójwymiarowej[edytuj | edytuj kod]

Kwaterniony jednostkowe tworzą sferę jednostkową S^3 w przestrzeni czterowymiarowej. Grupa ta jest blisko związana z grupą obrotów SO^3 przestrzeni trójwymiarowej. Przypiszmy mianowicie dowolnemu kwaternionowi h obrót T_h według wzoru:

T_h(x) = h x h^{-1}.

Wówczas:

  • przekształcenie T_h jest obrotem w trójwymiarowej przestrzeni kwaternionów urojonych.
  • przekształcenie h \mapsto T_h definiuje podwójne nakrycie grupy SO^3 przez sferę S^3.
  • jeśli wyrazimy kwaternion h w postaci wykładniczej e^{va}, wtedy T_h jest obrotem wokół osi v kąt 2a.

Zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Kwaterniony są używane w grafice komputerowej do wykonywania obrotów w przestrzeni trójwymiarowej. Klasa obsługująca kwaterniony zdefiniowana jest w pakiecie DirectX[3]. Klasy pozwalające wykonywać operacje na kwaternionach dostępne są również w OpenGL oraz wielu istniejących silnikach 3D. Części urojone kwaternionu służą do zdefiniowania płaszczyzny obrotu (opisują wektor prostopadły do płaszczyzny obrotu), część rzeczywista do określenia kąta obrotu. Zalety użycia kwaternionów to brak możliwości wystąpienia efektu Gimbal Lock (utraty stopnia swobody) oraz proste obliczeniowo metody służące interpolacji SLERP i LERP.

Ich zastosowania w matematyce są jednak o wiele szersze.

Sam Hamilton używał kwaternionów do linearyzacji równań różniczkowych, m.in. w mechanice niebieskiej - obrót to pomnożenie przez stałe kwaterniony. Kwaternionów Hamiltona używa się do konstrukcji wiązek wektorowych w geometrii różniczkowej. Użyto ich też w teorii liczb do badania liczby przedstawień liczby naturalnej jako sumy czterech kwadratów liczb całkowitych (co akurat przydaje się w równaniach różniczkowych cząstkowych).

Uogólnionych algebr kwaternionów używa się w teorii liczb (ładne sformułowanie zasady lokalno-globalnej Minkowskiego-Hasse), geometrii algebraicznej (stożkowe jako rozmaitości Severi-Brauera); pojawiają się w teorii kohomologii Galois (kohomologii etalnych) jako elementy rzędu 2 w grupie Brauera ciała (słynne twierdzenie Merkurjewa z 1981 identyfikuje owe elementy rzędu dwa jako klasy iloczynów tensorowych uogólnionych algebr kwaternionów); algebraiczna K-teoria rzutowej krzywej stożkowej wyraża się przez algebraiczną K-teorię ciała współczynników i K-teorię odpowiedniej uogólnionej algebry kwaternionów. Ogólniej, R. Swan udowodnił w 1985, że algebraiczna K-teoria kwadryki rzutowej wyraża się przez algebraiczne K-teorie ciała i odpowiedniej algebry Clifforda, która jest albo algebrą macierzy nad iloczynem tensorowym uogólnionych algebr kwaternionów, albo iloczynem kartezjańskim dwóch takich algebr (macierzy).

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Uwagi

  1. Nazwa ta użyta została m.in. w tytule wykładu Władysława Kretkowskiego "Teorya czwarków Wiliama Hamiltona wraz z niektóremi zastosowaniami do geometryi", który wygłoszony został na Uniwersytecie Lwowskim w roku akademickim 1882/83

Przypisy

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]