Różnica symetryczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Diagram Venna dla . Różnica symetryczna oznaczona jest kolorem szarym.

Różnica symetryczna zbiorów i to zbiór, do którego należą te elementy zbioru , które nie należą do zbioru oraz te, które należą do zbioru , ale nie należą do zbioru [1].

Różnicę symetryczną oznaczamy za pomocą symbolu [1][2][3], niektórzy używają również symbolu lub [4].

Definicja formalna[edytuj]

[1].

Własności[edytuj]

  • .
  • Jeśli , to .
  • Za pomocą różnicy symetrycznej i iloczynu można zdefiniować sumę i różnicę zbiorów:
    • Jeśli , to ; ogólniej, [2];
    • [2].
  • Zbiór składa się z elementów, które albo należą do wszystkich trzech zbiorów, albo do dokładnie jednego z nich. Z uwagi tej wynika łączność tego działania[3][2].
  • Zbiór potęgowy zbioru z operacją różnicy symetrycznej tworzy grupę przemienną, gdyż działanie to
  • Wraz z operacją przekroju powyższa grupa tworzy przemienny, łączny pierścień z jedynką, w którym dla wszystkich . W szczególności, pierścień ten jest przykładem pierścienia Boole'a.

Różnica symetryczna w logice[edytuj]

Przyjmując, że zdanie logiczne a oznacza: „x należy do zbioru A”, natomiast zdanie b: „x należy do zbioru B” to zdanie można równoważnie zapisać jako , gdzie oznacza alternatywę wykluczającą.

Przypisy

Bibliografia[edytuj]

  1. Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. Warszawa: Polskie Towarzystwo Matematyczne, 1952, seria: Monografie matematyczne, t. 27. OCLC 250182901. [dostęp 2016-09-23].
  2. Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. 8. Warszawa: PWN, 1980, seria: Biblioteka matematyczna, t. 9. ISBN 83-01-01372-9.
  3. Helena Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Wyd. 5. Warszawa: PWN, 1975, seria: Biblioteka matematyczna, t. 30. OCLC 749626864.
  4. Kenneth A. Ross, Charles R.B Wright: Matematyka dyskretna. E. Sepko-Guzicka (tłum.), W. Guzicki (tłum.), P. Zakrzewski (tłum.). Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1996. ISBN 83-01-12129-7.

Zobacz też[edytuj]