Różnica symetryczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Diagram Venna dla . Różnica symetryczna oznaczona jest kolorem czerwonym.

Różnica symetryczna zbiorów i to zbiór, do którego należą te elementy zbioru , które nie należą do zbioru oraz te, które należą do zbioru , ale nie należą do zbioru .

Różnicę symetryczną oznaczamy za pomocą symbolu , niektórzy używają również symbolu lub .

Definicja formalna[edytuj]

[1].

Własności[edytuj]

  • Jeśli , to .
  • Jeśli , to .
  • Zbiór składa się z elementów, które albo należą do wszystkich trzech zbiorów, albo do dokładnie jednego z nich. Z uwagi tej wynika łączność tego działania.
  • Za pomocą różnicy symetrycznej i iloczynu można zdefiniować sumę i różnicę zbiorów: oraz .
  • Zbiór potęgowy zbioru z operacją różnicy symetrycznej tworzy grupę przemienną, gdyż działanie to
  • Wraz z operacją przekroju powyższa grupa tworzy przemienny, łączny pierścień z jedynką, w którym dla wszystkich . W szczególności, pierścień ten jest przykładem pierścienia Boole'a.

Różnica symetryczna w logice[edytuj]

Przyjmując, że zdanie logiczne a oznacza: x należy do zbioru A', natomiast zdanie b: x należy do zbioru B to różnicę symetryczną można równoważnie zapisać jako

Przypisy

  1. K. Kuratowski, A. Mostowski: Teoria mnogości. Wyd. 2. PWN, 1966, s. 24.

Bibliografia[edytuj]

  1. K. Kuratowski, A. Mostowski: Teoria mnogości. Wyd. 2. PWN, 1966.
  2. K. Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. 7. PWN, 1977.
  3. H. Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Wyd. 3. PWN, 1971.

Zobacz też[edytuj]