Inwolucja (matematyka)

Definicja

Inwolucja – w matematyce to funkcja $f:X\rightarrow X$, która jest funkcją odwrotną do samej siebie. Innymi słowy, dla dowolnego $x\;$ należącego do dziedziny funkcji $f\;$ zachodzi warunek  $f(f(x))=x\;$   dla każdego  $x\in X$.

Ogólniej, w teorii kategorii morfizm  $i:X\rightarrow X$  nazywamy inwolucją lub morfizmem inwolucyjnym, gdy  $i\circ i=1_{X}$.

Własności

• Każda inwolucja jest bijekcją (każdy morfizm-inwolucja jest izomorfizmem).
• n-krotne złożenie inwolucji dla parzystych n jest tożsamością:

$f^{2\cdot k}(x)=x\;$

dla dowolnego $x\;$ z dziedziny $f\;$.

• n-krotne złożenie inwolucji dla nieparzystych n jest jest tą samą funkcją:

$f^{2\cdot k+1}(x)=f(x)\;$

dla dowolnego $x\;$ z dziedziny $f\;$.

Podobnie   $i^{2\cdot n}=1_{X}$   oraz   $i^{2\cdot n+1}=i$     dla dowolnego morfizmu inwolucyjnego  $i:X\rightarrow X$.

• Niech  X oraz Y  będą dowolnymi zbiorami. Niech  F := F(X, Y)   bedzie zbiorem wszystkich funckcji zbioru  X  w zbiór  Y. Niech  s : Y → Y   będzie inwolucją. Wtedy funkcja  S : F → F, dana wzorem:

$S(f)\;:=\;s\circ f$

dla dowolnego  f ε F,  jest inwolucją. Podobnie, niech  Z   będzie zbiorem, oraz  G := F(Y, Z).  Zdefiniujmy  T : G → G   za pomocą wzoru:

$T(g)\;:=\;g\circ s$

dla dowolnego  g ε G.  Wtedy  T : G → G   jest inwolucją.

Powyższe dwie własności zachodzą ogólnie dla morfizmów w dowolnej kategorii.

Przykłady

• Trywialnym przykładem inwolucji jest przekształcenie tożsamościowe.
• Inwolucją jest funkcja  s : A × A → A × A,  kwadratu kartezjańskiego zbioru A w siebie, dana wzorem:

s(x, y) := (y, x)         dla każdego   (x, y) ε A × A.

Zbiorem punktów stałych inwolucji s jest przekątną

Δ _A  :=  { (x, x) : x ε A }.

Wiele inwolucji jest indukowanych przez inwolucję typu  s,  na przykład transpozycja macierzy (samo  s   jest z kolei indukowane przez transpozycję zbioru 2-elementowego. t.zn. 2 osi).

• Zmiana znaku $f(x)=-x\;$ jest inwolucją w zbiorze liczb całkowitych (a także wymiernych, rzeczywistych, zespolonych ...)
• Odwrotność $f(x)={1 \over x}$ jest inwolucją na zbiorze liczb rzeczywistych różnych od zera.
• W geometrii inwolucjami są symetrie (osiowa, środkowa) oraz inwersja
• W rachunku zbiorów inwolucją jest dopełnienie zbioru.
• W rachunku zbiorów różnica symetryczna z ustalonym zbiorem. (bo $(A{\dot {-}}B){\dot {-}}B=A$).  Warunek ten jest często wykorzystywany w informatyce.
• W informatyce inwolucją jest szyfr Rot13.
• W zbiorze liczb zespolonych (a także kwaternionów) inwolucją jest sprzężenie.
• W algebrze boole'a inwolucją jest dopełnienie.
• W rachunku macierzy inwolucjami są transpozycja, sprzężenie, sprzężenie hermitowskie.

Geometria

W geometrii euklidesowej inwolucjami są symetrie zwierciadlane, osiowe, środkowe, a także inwersja. Izometrie zwierciadlane zmieniają orietację przestrzeni. Izometria środkowa zmienia orientację nieparzystowymiarowej przestrzeni euklidesowej, ale zachowuje parzystowymiarowej.

Twierdzenie (Bourbaki). Każda izometria n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej jest złożeniem co najwyżej n+1 symetrii zwierciadlanych.

Złożenia parzystej liczby izometrii zwierciadlanych zachowują orientację przestrzeni euklidesowej, a nieparzystej liczby – zmieniają.

Inwolucje są obiektem głębikich badań między innymi w topologii rozmaitości; patrz na przykład .

Teoria grup

Inwolucją nazywamy element rzędu dwa (czasami dopuszcza się też element rzędu 1 czyli element neutralny).

Pojęcie to bierze się stąd, że zbiór wszystkich bijekcji ustalonego zbioru tworzy grupę. W grupie tej inwolucje to elementy rzędu 2 i 1.

• Permutacja jest inwolucją wtedy i tylko wtedy, gdy w jej rozkładzie na cykle występują tylko cykle długości 1 i 2. W szczególności, transpozycja dwóch elementów jest inwolucją. Każda permutacja zbioru n-elementowego (n - liczba naturalna) jest złożeniem co najwyżej n-1 transpozycji, a więc inwolucji.

• Grupy Coxetera są generowane przez inwolucje (t.j. przez elementy rzędu 2).  

Zobacz też

• działanie grupy na zbiorze.