Ortogonalność

Ortogonalność (z gr. ortho – proste, gonia – kąt) – uogólnienie pojęcia prostopadłości znanego z geometrii euklidesowej na przestrzenie unitarne. Szczególnym przypadkiem ortogonalności jest ortonormalność.

Definicja

Wektory $x,y$ przestrzeni unitarnej $X$ z iloczynem skalarnym $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ nazywamy ortogonalnymi wtedy i tylko wtedy, gdy $\langle x,y\rangle =0$. Symbolicznie: $x\perp y$.

Uwaga

Wektor zerowy jest ortogonalny do każdego wektora przestrzeni unitarnej. Często zamiast o ortogonalności, zgodnie z intuicjami geometrycznymi, mówi się o prostopadłości danych wektorów, choć ostatnie spostrzeżenie rozróżnia prostopadłość od ortogonalności (punkt nie jest prostopadły do dowolnej prostej na płaszczyźnie euklidesowej, lecz jest do niej ortogonalny w sensie euklidesowego iloczynu skalarnego).

Funkcje ortogonalne

Ze względu na ogólność pojęcia przestrzeni liniowej, a co za tym idzie przestrzeni unitarnej, obejmującego zakresem również przestrzenie wielomianów i innych funkcji, mówi się konsekwentnie o wielomianach ortogonalnych i funkcjach ortogonalnych. Należy wówczas pamiętać względem jakiego iloczynu skalarnego rozpatrujemy ortogonalność.

Przykłady

Rozpatrzmy przestrzeń $L^{2}([a,b])$, czyli przestrzeń funkcji całkowalnych z kwadratem na przedziale $[a,b]$, gdzie iloczyn skalarny dany jest wzorem $\langle f,g\rangle =\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)dx$. Układem funkcji ortogonalnych na przedziale $[-\pi ,\pi ]$ jest $\left\{{1 \over {\sqrt {2\pi }}},{\sin nx \over {\sqrt {\pi }}},{\cos nx \over {\sqrt {\pi }}}\right\}$, gdzie $n\in \mathbb {N}$.

Innymi przykładem może być układ funkcji $\cos x,\,\cos 2x,\,\cos 3x,\dots$ badany w teorii szeregów Fouriera. Przykładem wielomianów ortogonalnych są wielomiany Legendre'a rozpatrywane w analizie matematycznej i analizie numerycznej.

Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki,
• macierz ortogonalna,
• ortogonalizacja Grama-Schmidta,
• ortonormalność,
• dopełnienie ortogonalne,
• operator ortogonalny.