Liczba przeciwna: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
m Wspomagane przez robota ujednoznacznienie: Przegląd zagadnień z zakresu matematyki - Zmieniono link(i) Wikipedia:Skarbnica Wikipedii/Przegląd zagadnień z zakresu matematyki |
m robot dodaje: et:Vastandarv |
||
Linia 49: | Linia 49: | ||
[[ca:Oposat (matemàtiques)]] |
[[ca:Oposat (matemàtiques)]] |
||
[[cs:Opačné číslo]] |
[[cs:Opačné číslo]] |
||
[[et:Vastandarv]] |
|||
[[en:Additive inverse]] |
[[en:Additive inverse]] |
||
[[es:Opuesto]] |
[[es:Opuesto]] |
Wersja z 15:40, 8 maj 2010
Liczba przeciwna do danej liczby to taka liczba że zachodzi:
gdzie jest elementem zerowym działania dodawania.
Przykład:
- liczbą przeciwną do liczby 3 jest liczba -3
W szczególności:
- liczbą przeciwną do zera jest zero.
- liczbą przeciwną do przeciwnej do x jest liczba x.
W zbiorach liczb całkowitych, wymiernych, rzeczywistych i zespolonych dla każdej liczby istnieje liczba przeciwna. Zbiory te wraz z dodawaniem są bowiem w szczególnym przypadkiem tzw. grup – a jeden z aksjomatów grupy wymaga istnienia elementu odwrotnego do każdego elementu zbioru.
W zbiorach liczb naturalnych, oraz w klasach liczb kardynalnych i porządkowych nie jest to już prawda – liczby ujemne nie należą do zbioru liczb naturalnych, a dla nieskończonych liczb kardynalnych i porządkowych liczby przeciwne w ogóle nie są zdefiniowane, o ile nie wprowadzimy ich sztucznie, np. tak jak w liczbach nadrzeczywistych.
Uogólnienie na grupy uporządkowane
Z punktu widzenia algebry jest to pojęcie elementu odwrotnego do danego wyrażone w terminologii addytywnej.
Jeżeli w grupie jest określony porządek liniowy spełniający[1][2]
to
- elementy dla których , nazywamy niedodatnimi
- elementy dla których , nazywamy nieujemnymi
- elementy niedodatnie niezerowe nazywamy ujemnymi
- elementy nieujemne niezerowe nazywamy dodatnimi
Takimi grupami są wspomniane wyżej grupy liczb całkowitych, wymiernych i rzeczywistych (ale nie zespolonych).
Wówczas, jak łatwo sprawdzić:
- element przeciwny do dodatniego jest ujemny
- element przeciwny do ujemnego jest dodatni
Warto wspomnieć jeszcze, że np. grupach z dodawaniem modulo n gdzie n jest parzyste istnieją elementy niezerowe, które są przeciwne do samych siebie.