Element odwrotny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Element odwrotny jest uogólnieniem pojęcia odwrotności liczby.

Niech oznacza działanie dwuargumentowe w zbiorze . Element nazywa się elementem odwrotnym do jeżeli spełnione są dwa warunki:

  1. ,
  2. ,

gdzie oznacza element neutralny działania .

Jeżeli działanie zapisywane jest za pomocą symboli , itp. w celu zaznaczenia jego addytywności, to element odwrotny nazywamy przeciwnym i używamy oznaczenia . Nazwa odwrotny używana jest w przypadku notacji multiplikatywnej, tj. gdy działanie oznaczamy symbolem zarezerwowanym dla mnożenia: , itp. i oznaczamy

Elementy jednostronne[edytuj]

Często rozważa się element odwrotny lewostronny do danego, gdy spełniony jest jedynie pierwszy warunek i element odwrotny prawostronny, jeżeli spełniony jest wyłącznie drugi warunek. "Zwykły" element odwrotny nazywa się wtedy elementem odwrotnym obustronnym.

Dany element może mieć wiele elementów odwrotnych prawostronnych i lewostronnych jednocześnie, i nie muszą one być sobie równe! Jeśli jednak działanie jest łączne i dany element ma element odwrotny lewostronny i element odwrotny prawostronny to, są one sobie równe i element ten jest elementem odwrotnym obustronnym. A więc jeśli istnieje, element odwrotny jest tylko jeden.

W większości ważnych praktycznie struktur algebraicznych jak grupy i ciała zwykle postuluje się, aby za pewnymi wyjątkami każdy element był odwracalny.

Przykłady[edytuj]

  • Niech będzie dodawaniem liczb rzeczywistych. Elementem odwrotnym do liczby jest liczba . Mamy bowiem: oraz (zero jest elementem neutralnym dodawania).
  • Jeżeli jest mnożeniem liczb rzeczywistych, to elementem odwrotnym do liczby jest liczba , bo (jedynka jest elementem neutralnym mnożenia).

Ostatni przykład pokazuje, że nie każdy element musi mieć element odwrotny – liczba zero nie ma elementu odwrotnego względem mnożenia.

Zobacz też[edytuj]