Wartość oczekiwana: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
m r2.5.4) (Robot dodał bg:Математическо очакване |
m Robot dodał zh-yue:期望值 |
||
Linia 87: | Linia 87: | ||
[[ur:متوقع قدر]] |
[[ur:متوقع قدر]] |
||
[[vi:Giá trị kỳ vọng]] |
[[vi:Giá trị kỳ vọng]] |
||
[[zh-yue:期望值]] |
|||
[[zh:期望值]] |
[[zh:期望值]] |
Wersja z 22:25, 18 cze 2012
Wartość oczekiwana (wartość średnia, przeciętna, dawniej nadzieja matematyczna) – w rachunku prawdopodobieństwa wartość określająca spodziewany wynik doświadczenia losowego. Wartość oczekiwana to inaczej pierwszy moment zwykły. Estymatorem wartości oczekiwanej rozkładu cechy w populacji jest średnia arytmetyczna.
Definicja
Zmienna dyskretna
Niech będzie zmienną losową typu dyskretnego. Wartością oczekiwaną nazywa się sumę iloczynów wartości tej zmiennej losowej oraz prawdopodobieństw z jakimi są one przyjmowane.
Jeżeli dyskretna zmienna losowa przyjmuje wartości z prawdopodobieństwami wynoszącymi odpowiednio , to wartość oczekiwana zmiennej losowej wyraża się wzorem
- .
Jeżeli zmienna przyjmuje nieskończenie ale przeliczalnie wiele wartości, to we wzorze na jej wartość oczekiwaną występuje w miejsce (istnieje ona tylko wtedy, gdy szereg ten jest zbieżny bezwzględnie).
Zmienna ciągła
Jeżeli jest zmienną losową typu ciągłego zdefiniowaną na przestrzeni probabilistycznej , to wartość oczekiwaną zmiennej losowej definiuje się jako całkę
o ile powyższa całka istnieje, tzn. jeżeli:
- .
Właściwości
Jeśli jest zmienną losową o funkcji gęstości prawdopodobieństwa , to jej wartość oczekiwana wynosi
- .
Jeżeli jest funkcją mierzalną, to
- .
Jeśli istnieją oraz , to:
- , gdzie jest funkcją stałą (wynika z jednorodności sumy/szeregu/całki),
- (wynika z liniowości sumy/szeregu/całki),
- jeżeli są niezależne, to ,
- jeżeli prawie wszędzie, to ,
- .
W mechanice kwantowej
Pojęcie wartości oczekiwanej jest szeroko stosowane w mechanice kwantowej. Wartość oczekiwana obserwabli, której odpowiada operator dla stanu kwantowego układu opisywanego funkcją falową wynosi , gdzie całkowanie przebiega po wszystkich możliwych wartościach zmiennych układu.
W notacji Diraca wzór ten można zapisać: .
Nieoznaczoność wartości oczekiwanej , czyli wariancja , wynosi .
Zobacz też
Bibliografia
Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: Script, 2004, s. 79. ISBN 83-89716-01-1.