Wartość oczekiwana: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
m MalarzBOT: wstawiam brakujący szablon {{Przypisy}} |
m →Zobacz też: drobne techniczne |
||
Linia 34: | Linia 34: | ||
[[zasada nieoznaczoności|Nieoznaczoność]] wartości oczekiwanej <math>\hat{A}</math>, czyli [[wariancja]] <math>\hat{A}</math>, wynosi |
[[zasada nieoznaczoności|Nieoznaczoność]] wartości oczekiwanej <math>\hat{A}</math>, czyli [[wariancja]] <math>\hat{A}</math>, wynosi |
||
<math>(\Delta\hat{A})^2 = \langle\hat{A}^2\rangle - \langle\hat{A}\rangle^2</math>. |
<math>(\Delta\hat{A})^2 = \langle\hat{A}^2\rangle - \langle\hat{A}\rangle^2</math>. |
||
== Zobacz też == |
|||
* [[średnia arytmetyczna]] |
|||
* [[wariancja]] |
|||
* [[Wikipedia:Skarbnica Wikipedii/Przegląd zagadnień z zakresu statystyki|przegląd zagadnień z zakresu statystyki]] |
|||
* [[warunkowa wartość oczekiwana]] |
|||
{{Przypisy}} |
{{Przypisy}} |
Wersja z 21:39, 27 lip 2017
Wartość oczekiwana (wartość średnia, przeciętna, dawniej nadzieja matematyczna) – wartość określająca spodziewany wynik doświadczenia losowego. Wartość oczekiwana to inaczej pierwszy moment zwykły. Estymatorem wartości oczekiwanej rozkładu cechy w populacji jest średnia arytmetyczna.
Definicja formalna
Jeżeli jest zmienną losową na przestrzeni probabilistycznej o wartościach w , to wartością oczekiwaną zmiennej losowej nazywa się liczbę
o ile ona istnieje, tzn. jeżeli:
- [2].
Zmienna dyskretna
W przypadku, gdy zmienna losowa ma rozkład dyskretny i przyjmuje tylko skończenie wiele wartości z prawdopodobieństwami wynoszącymi odpowiednio , to z powyższej definicji wynika następujący wzór na wartość oczekiwaną
- [3].
Jeżeli zmienna przyjmuje nieskończenie ale przeliczalnie wiele wartości, to we wzorze na jej wartość oczekiwaną występuje w miejsce (istnieje ona tylko wtedy, gdy szereg ten jest zbieżny bezwzględnie).
Właściwości
Jeśli jest zmienną losową o funkcji gęstości prawdopodobieństwa , to jej wartość oczekiwana wynosi
- .
Jeżeli jest funkcją mierzalną, to
- .
Jeśli istnieją oraz , to:
- , gdzie jest funkcją stałą (wynika z jednorodności sumy/szeregu/całki),
- (wynika z liniowości sumy/szeregu/całki),
- jeżeli są niezależne, to ,
- jeżeli prawie wszędzie, to ,
- .
W mechanice kwantowej
Pojęcie wartości oczekiwanej jest szeroko stosowane w mechanice kwantowej. Wartość oczekiwana obserwabli, której odpowiada operator dla stanu kwantowego układu opisywanego znormalizowaną funkcją falową wynosi , gdzie całkowanie przebiega po wszystkich możliwych wartościach zmiennych układu.
W notacji Diraca wzór ten można zapisać: .
Nieoznaczoność wartości oczekiwanej , czyli wariancja , wynosi .
Bibliografia
- Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: Script, 2004. ISBN 83-89716-01-1.