Dwunastościan foremny

Dwunastościan foremny

Dwunastościan foremny

Przykładowa siatka dwunastościanu foremnego

Dwunastościan foremny (dodekaedr) – wielościan foremny o 12 ścianach w kształcie przystających pięciokątów foremnych. Ma 30 krawędzi i 20 wierzchołków. Ścinając wierzchołki dwunastościanu otrzymujemy wielościan półforemny o nazwie dwunastościan ścięty. Bryła oznaczona jest symbolem Schläfliego {5,3}

Wzory i właściwości

Pole powierzchni całkowitej dwunastościanu foremnego o krawędzi długości $a\,$:

$S=3~a^{2}~{\sqrt {5(5+2{\sqrt {5}})}}\approx 20,6457~a^{2}$

Objętość:

• $V={\frac {1}{4}}~a^{3}~(15+7{\sqrt {5}})\approx 7,6613~a^{3}$
• Apoloniusz z Pergi wykazał, że jeśli promień okręgu wpisanego dwudziestościanu jest taki sam jak dwunastościanu foremnego, to

${\frac {V_{dwudziestoscianu}}{V_{dwunastoscianu\ foremnego}}}={\frac {A_{dwudziestoscianu}}{A_{dwunastoscianu\ foremnego}}}$

$=\surd ({\frac {3}{10}}(5-\surd 5))$

Promień kuli wpisanej:

$r={\frac {a}{20}}{\sqrt {10(25+11{\sqrt {5}})}}\approx 1,1135~a$

Promień kuli stycznej do krawędzi:

$\delta ={\frac {a(3+{\sqrt {5}})}{4}}$

Promień kuli opisanej:

$R={\frac {a}{4}}~{\sqrt {3}}~(1+{\sqrt {5}})\approx 1,4013~a$

Kąt między sąsiednimi ścianami:

$\alpha =\cos ^{-}1(-{\frac {\sqrt {5}}{5}})\approx 116,6^{\circ }$

Grupa symetrii:

I_h

Zobacz też

• dwunastościan ścięty
• czworościan
• sześcian
• ośmiościan
• dwudziestościan