Sprzężenie hermitowskie macierzy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Sprzężenie hermitowskie macierzyzłożenie operacji transpozycji i sprzężenia zespolonego dokonane na macierzy w ogólności zespolonej, tj.

,

gdzie - sprzężenie zespolone liczby

Innymi słowy

.

Sprzężenie hermitowskie można rozumieć jako odwzorowanie z przestrzeni wektorowej macierzy zespolonych na tę samą przestrzeń, które przypisuje danej macierzy jej sprzężenie hermitowskie.

Uogólnieniem pojęcia sprzężenia hermitowskiego macierzy jest pojęcie operatora sprzężonego do danego operatora zdefiniowanego dla przestrzeni Hilberta.

Inne oznaczenia sprzężenia hermitowskiego macierzy: i .

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenia[edytuj | edytuj kod]

Niech oraz będą macierzami oraz niech będzie liczbą zespoloną. Wówczas:

  • (macierze A i B muszą mieć takie same wymiary)
  • (gdy iloczyn ma sens)
  • , - sprzężenie zespolone liczby
  • oraz , o ile jest kwadratowa
  • wartości własne macierzy są zespolonymi sprzężeniami wartości własnych macierzy

Powyższe własności można łatwo sprawdzić, korzystając z przykładowych macierzy oraz podanych wyżej.

Pojęcia związane ze sprzężeniem hermitowskim[edytuj | edytuj kod]

Macierz kwadratowa o wyrazach jest nazywana

  • hermitowską, gdy , czyli,  
  • antyhermitowską, gdy , czyli  
  • normalną, gdy
  • unitarną,

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • T. Trajdos: Matematyka część III. Warszawa: PWN, 1993. ISBN 83-204-1547-0.