Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Sprzężenie hermitowskie macierzy – złożenie operacji transpozycji i sprzężenia zespolonego dokonane na macierzy w ogólności zespolonej , tj.
A
=
(
a
i
j
)
↦
A
†
=
(
a
j
i
¯
)
,
{\displaystyle A=(a_{ij})\mapsto A^{\dagger }=({\overline {a_{ji}}}),}
gdzie
a
j
i
¯
{\displaystyle {\overline {a_{ji}}}}
a
j
i
.
{\displaystyle a_{ji}.}
Innymi słowy
A
†
=
A
¯
T
=
A
T
¯
.
{\displaystyle A^{\dagger }={\overline {A}}^{T}={\overline {A^{T}}}.}
Sprzężenie hermitowskie można rozumieć jako odwzorowanie z przestrzeni wektorowej macierzy zespolonych na tę samą przestrzeń, które przypisuje danej macierzy jej sprzężenie hermitowskie.
Uogólnieniem pojęcia sprzężenia hermitowskiego macierzy jest pojęcie operatora sprzężonego do danego operatora zdefiniowanego dla przestrzeni Hilberta .
Inne oznaczenia sprzężenia hermitowskiego macierzy:
A
H
{\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}
A
†
.
{\displaystyle \mathbf {A} ^{\dagger }.}
A
=
[
1
i
0
i
]
↦
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&i\\0&i\end{bmatrix}}\mapsto }
A
†
=
[
1
0
−
i
−
i
]
{\displaystyle A^{\dagger }={\begin{bmatrix}1&0\\-i&-i\end{bmatrix}}}
B
=
[
1
−
2
1
+
i
i
]
↦
{\displaystyle B={\begin{bmatrix}1&-2\\1+i&i\end{bmatrix}}\mapsto }
B
†
=
[
1
1
−
i
−
2
−
i
]
{\displaystyle B^{\dagger }={\begin{bmatrix}1&1-i\\-2&-i\end{bmatrix}}}
C
=
[
1
100
−
999
i
0
1
+
2
i
2
+
3
i
0
−
i
3
−
4
i
3
]
↦
C
†
=
[
1
1
−
2
i
i
100
+
999
i
2
−
3
i
3
+
4
i
0
0
3
]
{\displaystyle C={\begin{bmatrix}1&100-999i&0\\1+2i&2+3i&0\\-i&3-4i&3\end{bmatrix}}\mapsto C^{\dagger }={\begin{bmatrix}1&1-2i&i\\100+999i&2-3i&3+4i\\0&0&3\end{bmatrix}}}
Niech
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
λ
{\displaystyle \lambda }
(
A
+
B
)
†
=
A
†
+
B
†
{\displaystyle (A+B)^{\dagger }=A^{\dagger }+B^{\dagger }}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
(
A
B
)
†
=
B
†
A
†
{\displaystyle (AB)^{\dagger }=B^{\dagger }A^{\dagger }}
iloczyn
A
B
{\displaystyle AB}
(
λ
A
)
†
=
λ
¯
A
†
,
{\displaystyle (\lambda A)^{\dagger }={\overline {\lambda }}A^{\dagger },}
λ
¯
{\displaystyle {\overline {\lambda }}}
λ
{\displaystyle \lambda }
(
A
†
)
†
=
A
{\displaystyle (A^{\dagger })^{\dagger }=A}
det
(
A
†
)
=
det
A
¯
{\displaystyle \det(A^{\dagger })={\overline {\det A}}}
tr
(
A
†
)
=
tr
A
¯
,
{\displaystyle \operatorname {tr} (A^{\dagger })={\overline {\operatorname {tr} A}},}
A
{\displaystyle A}
wartości własne macierzy
A
†
{\displaystyle A^{\dagger }}
A
{\displaystyle A}
Powyższe własności można łatwo sprawdzić, korzystając z przykładowych macierzy
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
Macierz kwadratowa
A
{\displaystyle A}
a
i
j
{\displaystyle a_{ij}}
hermitowską , gdy
A
=
A
†
,
{\displaystyle A=A^{\dagger },}
a
i
j
=
a
j
i
¯
{\displaystyle a_{ij}={\overline {a_{ji}}}}
antyhermitowską , gdy
A
=
−
A
†
,
{\displaystyle A=-A^{\dagger },}
a
i
j
=
−
a
j
i
¯
{\displaystyle a_{ij}=-{\overline {a_{ji}}}}
normalną , gdy
A
A
†
=
A
†
A
{\displaystyle AA^{\dagger }=A^{\dagger }A}
unitarną ,
A
†
=
A
−
1
{\displaystyle A^{\dagger }=A^{-1}}
