Term

Term (formuła nazwowa) – wyrażenie składające się ze zmiennych oraz symboli funkcyjnych o dowolnej argumentowości (w tym o argumentowości 0, czyli stałych) z pewnego ustalonego zbioru.

W wielu dziedzinach matematyki używa się określenia term na oznaczenie napisów (wyrażeń) formalnych które mogą być traktowane jako nazwy na obiekty matematyczne. W większości przypadków znaczenie to można przedstawić jako termy w pewnym języku pierwszego rzędu opisane poniżej.

Termy w logice matematycznej

Termy języków pierwszego rzędu

Niech $\tau$$\tau$ będzie alfabetem języka pierwszego rzędu ${\mathcal {L}}(\tau )$${\mathcal {L}}(\tau )$. Tak więc $\tau$$\tau$ jest zbiorem stałych, symboli funkcyjnych i symboli relacyjnych (predykatów). Każdy z tych symboli ma jednoznacznie określony charakter (tzn wiadomo czy jest to stała, czy symbol funkcyjny czy też predykat) i każdy z symboli funkcyjnych i predykatów ma określoną arność (która jest dodatnią liczbą całkowitą). Język ${\mathcal {L}}(\tau )$${\mathcal {L}}(\tau )$ ma też ustaloną nieskończoną listę zmiennych (zwykle $x_{0},x_{1},\ldots$$x_{0},x_{1},\ldots$).

Termy języka ${\mathcal {L}}(\tau )$${\mathcal {L}}(\tau )$ to elementy najmniejszego zbioru ${\mathbf {T}}$${\mathbf {T}}$ takiego, że:

• wszystkie stałe i zmienne należą do ${\mathbf {T}}$${\mathbf {T}}$,
• jeśli $t_{1},\ldots ,t_{n}\in {\mathbf {T}}$$t_{1},\ldots ,t_{n}\in {\mathbf {T}}$ i $f\in \tau$$f\in \tau$ jest $n$$n$-arnym symbolem funkcyjnym, to $f(t_{1},\ldots ,t_{n})\in {\mathbf {T}}$$f(t_{1},\ldots ,t_{n})\in {\mathbf {T}}$.

Przykłady

• Język teorii grup to ${\mathcal {L}}(\{*\})$${\mathcal {L}}(\{*\})$ gdzie $*$$*$ jest binarnym symbolem funkcyjnym. Przykłądami termów tego języka są:

$x_{1}*x_{1}$$x_{1}*x_{1}$, oraz $x_{1}*(x_{2}*(x_{1}*(x_{2}*x_{1})))$$x_{1}*(x_{2}*(x_{1}*(x_{2}*x_{1})))$ a także $(x_{1}*(x_{1}*(x_{1}*(x_{1}*x_{1}))))*(x_{1}*(x_{2}*(x_{1}*(x_{2}*x_{1}))))$$(x_{1}*(x_{1}*(x_{1}*(x_{1}*x_{1}))))*(x_{1}*(x_{2}*(x_{1}*(x_{2}*x_{1}))))$

• Język ciał uporządkowanych to ${\mathcal {L}}(\{+,\cdot ,0,1,\leqslant \})$${\mathcal {L}}(\{+,\cdot ,0,1,\leqslant \})$ gdzie $+,\cdot$$+,\cdot$ są binarnymi symbolami funkcyjnymi a $\leqslant$$\leqslant$ jest binarnym symbolem relacyjnym. Przykładowe termy tego języka to

$1+(0+1)$$1+(0+1)$,   $(1+1)\cdot ((1+1)\cdot 1)$$(1+1)\cdot ((1+1)\cdot 1)$,   $((x_{1}+x_{2})+0)\cdot x_{7}$$((x_{1}+x_{2})+0)\cdot x_{7}$.

Języki wyższych rzędów

W analogiczny sposób wprowadza się termy w językach wyższych rzędów a także w bardziej skomplikowanych logikach.

Termy boole’owskie

W teorii forsingu rozważa się termy boole’owskie wprowadzane następująco. Niech ${\mathbb {B} }=(B,+,\cdot ,\sim ,{\mathbf {0} },{\mathbf {1} })$${\mathbb {B} }=(B,+,\cdot ,\sim ,{\mathbf {0} },{\mathbf {1} })$ będzie zupełną algebrą Boole’a. Przez indukcję po wszystkich liczbach porządkowych $\alpha$$\alpha$ definujemy zbiory ${\mathbf {V} }_{\alpha }^{\mathbb {B} }$${\mathbf {V} }_{\alpha }^{\mathbb {B} }$ złożone z termów boole’owskich rangi $\alpha$$\alpha$:

• ${\mathbf {V} }_{0}^{\mathbb {B} }=\emptyset$${\mathbf {V} }_{0}^{\mathbb {B} }=\emptyset$,
• ${\mathbf {V} }_{\alpha }^{\mathbb {B} }=\bigcup \limits _{\beta <\alpha }{\mathbf {V} }_{\beta }^{\mathbb {B} }$${\mathbf {V} }_{\alpha }^{\mathbb {B} }=\bigcup \limits _{\beta <\alpha }{\mathbf {V} }_{\beta }^{\mathbb {B} }$ gdy $\alpha$$\alpha$ jest liczbą graniczną,
• ${\mathbf {V} }_{\alpha +1}^{\mathbb {B} }$${\mathbf {V} }_{\alpha +1}^{\mathbb {B} }$ jest zbiorem wszystkich funkcji t których dziedzina ${\rm {dom}}(t)$${\rm {dom}}(t)$ jest podzbiorem ${\mathbf {V} }_{\alpha }^{\mathbb {B} }$${\mathbf {V} }_{\alpha }^{\mathbb {B} }$, a wartości należą do algebry ${\mathbb {B} }$${\mathbb {B} }$.

Kładziemy też ${\mathbf {V} }^{\mathbb {B} }=\bigcup \limits _{\alpha \in {\mathbf {ON} }}{\mathbf {V} }_{\alpha }^{\mathbb {B} }$${\mathbf {V} }^{\mathbb {B} }=\bigcup \limits _{\alpha \in {\mathbf {ON} }}{\mathbf {V} }_{\alpha }^{\mathbb {B} }$.

Termy boole’owskie są nazwami na obiekty w rozszerzeniach generycznych modeli teorii mnogości w tym sensie, że każdy element rozszerzenia jest interpretacją pewnego termu przez filtr generyczny.

Termy w informatyce

W sztucznej inteligencji term służy do reprezentowania bytów w programowaniu w logice (na przykład w języku Prolog).

Często spotykaną interpretacją termu jest drzewo etykietowane.