Term

Term (formuła nazwowa) – wyrażenie składające się ze zmiennych oraz symboli funkcyjnych o dowolnej argumentowości (w tym o argumentowości 0, czyli stałych) z pewnego ustalonego zbioru.

W wielu dziedzinach matematyki używa się określenia term na oznaczenie napisów (wyrażeń) formalnych które mogą być traktowane jako nazwy na obiekty matematyczne. W większości przypadków znaczenie to można przedstawić jako termy w pewnym języku pierwszego rzędu opisane poniżej.

Termy w logice matematycznej

Termy języków pierwszego rzędu

Niech $\tau$ będzie alfabetem języka pierwszego rzędu ${\mathcal {L}}(\tau ).$ Tak więc $\tau$ jest zbiorem stałych, symboli funkcyjnych i symboli relacyjnych (predykatów). Każdy z tych symboli ma jednoznacznie określony charakter (tzn. wiadomo czy jest to stała, czy symbol funkcyjny czy też predykat) i każdy z symboli funkcyjnych i predykatów ma określoną arność (która jest dodatnią liczbą całkowitą). Język ${\mathcal {L}}(\tau )$ ma też ustaloną nieskończoną listę zmiennych (zwykle $x_{0},x_{1},\dots$).

Termy języka ${\mathcal {L}}(\tau )$ to elementy najmniejszego zbioru $\mathbf {T}$ takiego, że:

• wszystkie stałe i zmienne należą do $\mathbf {T} ,$
• jeśli $t_{1},\dots ,t_{n}\in \mathbf {T}$ i $f\in \tau$ jest $n$-arnym symbolem funkcyjnym, to $f(t_{1},\dots ,t_{n})\in \mathbf {T} .$

Przykłady

• Język teorii grup to ${\mathcal {L}}(\{*\})$ gdzie $*$ jest binarnym symbolem funkcyjnym. Przykładami termów tego języka są:

$x_{1}*x_{1},$ oraz $x_{1}*(x_{2}*(x_{1}*(x_{2}*x_{1}))),$ a także $(x_{1}*(x_{1}*(x_{1}*(x_{1}*x_{1}))))*(x_{1}*(x_{2}*(x_{1}*(x_{2}*x_{1}))))$

• Język ciał uporządkowanych to ${\mathcal {L}}(\{+,\cdot ,0,1,\leqslant \})$ gdzie $+,\cdot$ są binarnymi symbolami funkcyjnymi a $\leqslant$ jest binarnym symbolem relacyjnym. Przykładowe termy tego języka to

$1+(0+1),$   $(1+1)\cdot ((1+1)\cdot 1),$   $((x_{1}+x_{2})+0)\cdot x_{7}.$

Języki wyższych rzędów

W analogiczny sposób wprowadza się termy w językach wyższych rzędów, a także w bardziej skomplikowanych logikach.

Termy boole’owskie

W teorii forsingu rozważa się termy boole’owskie wprowadzane następująco. Niech $\mathbb {B} =(B,+,\cdot ,\sim ,\mathbf {0} ,\mathbf {1} )$ będzie zupełną algebrą Boole’a. Przez indukcję po wszystkich liczbach porządkowych $\alpha$ definujemy zbiory $\mathbf {V} _{\alpha }^{\mathbb {B} }$ złożone z termów boole’owskich rangi $\alpha$:

• $\mathbf {V} _{0}^{\mathbb {B} }=\emptyset ,$
• $\mathbf {V} _{\alpha }^{\mathbb {B} }=\bigcup \limits _{\beta <\alpha }\mathbf {V} _{\beta }^{\mathbb {B} }$ gdy $\alpha$ jest liczbą graniczną,
• $\mathbf {V} _{\alpha +1}^{\mathbb {B} }$ jest zbiorem wszystkich funkcji $t$ których dziedzina $\mathrm {dom} (t)$ jest podzbiorem $\mathbf {V} _{\alpha }^{\mathbb {B} },$ a wartości należą do algebry $\mathbb {B} .$

Kładziemy też $\mathbf {V} ^{\mathbb {B} }=\bigcup \limits _{\alpha \in {\mathbf {ON} }}\mathbf {V} _{\alpha }^{\mathbb {B} }.$

Termy boole’owskie są nazwami na obiekty w rozszerzeniach generycznych modeli teorii mnogości w tym sensie, że każdy element rozszerzenia jest interpretacją pewnego termu przez filtr generyczny.

Termy w informatyce

W sztucznej inteligencji term służy do reprezentowania bytów w programowaniu w logice (na przykład w języku Prolog).

Często spotykaną interpretacją termu jest drzewo etykietowane.