Symbol funkcyjny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Symbol funkcyjny – symbol używany w logice matematycznej i pokrewnych dziedzinach matematyki (np. algebrze abstrakcyjnej). Symbole funkcyjne są elementami alfabetów języków pierwszego rzędu (a także innych logik) i charakteryzują się tym, że zastosowane do obiektów zwanych termami produkują nowe termy.

W potocznym języku matematyki, symbole funkcyjne w wyrażeniach matematycznych oznaczają funkcje, np.: w wyrażeniu symbolem funkcyjnym jest , w jest nim +, w są nimi , , + oraz -.

Symbole funkcyjne i termy w logikach pierwszego rzędu[edytuj]

Wprowadzając język pierwszego rzędu najpierw określamy jego alfabet czyli zbiór symboli funkcyjnych, symboli relacyjnych i stałych. Każdy z tych symboli ma jednoznacznie określony charakter (tzn. wiadomo czy jest to stała, czy symbol funkcyjny, czy też predykat) i każdy z symboli funkcyjnych i predykatów ma określoną arność (która jest dodatnią liczbą całkowitą). Ustalmy też nieskończoną listę zmiennych (zwykle ).

Definiujemy termy języka przez indukcję po ich złożoności w następujący sposób:

  • wszystkie stałe i zmienne są termami,
  • jeśli są termami, i jest -arnym symbolem funkcyjnym, to jest termem.

Różne ujęcia i oznaczenia[edytuj]

  • W niektórych ujęciach rachunku kwantyfikatorów, stałe języka są traktowane jako 0-argumentowe symbole funkcyjne. Wówczas alfabet języka składa się jedynie z symboli funkcyjnych i symboli relacyjnych, ale arność tych pierwszych może wynosić zero.
  • W teorii modeli czasami jest wygodniej zakładać, że alfabet rozważanego języka nie zawiera żadnych symboli funkcyjnych. Nie wprowadza to żadnego istotnego ograniczenia, bowiem każdy n-arny symbol funkcyjny f może być zastąpiony przez -argumentową relację R, tak że intuicyjny związek między nimi jest wyrażony przez
wtedy i tylko wtedy, gdy .
(Wymaga to dodania do rozważanych teorii zdania wyrażającego własność predykatu R, że "pochodzi" on od pewnej funkcji.)
  • W algebrze, dwuczłonowe symbole funkcyjne są zapisywane pomiędzy termami. Tradycyjnie piszemy więc (a nie ) itd.

Przykłady[edytuj]

  • Język teorii grup to , gdzie jest binarnym symbolem funkcyjnym. Przykładowe termy w tym języku to:
  • Język ciał uporządkowanych to gdzie są binarnymi symbolami funkcyjnymi, a jest binarnym symbolem relacyjnym. Przykładowe termy w tym języku to:

Interpretacje termów w modelu[edytuj]

Niech będzie alfabetem jakiegoś języka pierwszego rzędu i niech będzie zbiorem stałych tego alfabetu, będzie zbiorem symboli funkcyjnych, a będzie zbiorem symboli relacyjnych. modelem języka nazywamy układ

gdzie

  • M jest niepustym zbiorem zwanym dziedziną lub uniwersum modelu (często uniwersum modelu oznacza się przez ),
  • dla n-arnego symbolu relacyjnego , jest n-argumentową relacją na zbiorze M, tzn. ,
  • dla n-arnego symbolu funkcyjnego , jest n-argumentowym działaniem na zbiorze M, tzn. ,
  • dla stałej , jest elementem zbioru M.

Tak więc w modelach danego języka symbole funkcyjne są interpretowane jako funkcje. Przez indukcję po złożoności termów definiujemy też interpretację termu w modelu . Dla termu o zmiennych wolnych zawartych wśród i dla elementów definiujemy następująco:

  • Jeśli t jest stałą c alfabetu τ, to .
  • Jeśli t jest zmienną , to .
  • Jeśli są termami i jest -arnym symbolem funkcyjnym, to .

Zobacz też[edytuj]