Twierdzenie Cauchy’ego (teoria grup)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ten artykuł dotyczy teorii grup. Zobacz też: inne twierdzenia Cauchy’ego.

Twierdzenie Cauchy’egotwierdzenie teorii grup, mówi ono, że jeśli jest grupą skończoną i jest liczbą pierwszą, będącą dzielnikiem rzędu grupy (liczby elementów grupy ), to w istnieje element rzędu . Oznacza to, że istnieje taki, że dla najmniejszego niezerowego zachodzi , gdzie jest elementem neutralnym.

Powyższe twierdzenie związane jest z twierdzeniem Lagrange’a, które mówi, że rząd dowolnej skończonej podgrupy grupy dzieli rząd grupy . Z twierdzenia Cauchy’ego wynika, że dla dowolnej liczby pierwszej , będącej dzielnikiem rzędu , istnieje podgrupa grupy , której rzędem jest i jest to grupa cykliczna.

Twierdzenie Cauchy’ego jest uogólnione przez pierwsze twierdzenie Sylowa, które zakłada, że jeśli jest liczbą pierwszą, a   jest dzielnikiem rzędu grupy , to ma podgrupę rzędu .

Twierdzenie i dowód[edytuj]

Ukazało się wiele tekstów, w których twierdzenie dowodzone jest przez silną indukcję, przy użyciu równania klasy, niemniej w przypadku abelowym tak mocne narzędzia nie są konieczne. Można też odwołać się do działań grupy.

Twierdzenie: Niech będzie grupą skończoną, a liczbą pierwszą. Jeśli dzieli rząd grupy , to ma element rzędu .

Dowód 1[edytuj]

Na początku udowodnimy twierdzenie w przypadku szczególnym, gdzie G jest abelowa, a następnie zajmiemy się przypadkiem ogólnym. Oba przypadki udowodnimy przez indukcję względem . Przypadek, gdzie jest trywialny, ponieważ dowolny element (nie neutralny) ma rząd . Przypuśćmy najpierw, że jest abelowa. Weźmy dowolny element , który generuje grupę cykliczną . Jeśli dzieli , to  jest elementem rzędu . Jeśli nie dzieli , to dzieli rząd grupy ilorazowej , która z założenia indukcyjnego zawiera element rzędu . Element ten jest warstwą dla . Jeśli jest rzędem , to  w daje, że w , więc dzieli . Jak wcześniej,  jest elementem rzędu w , co kończy dowód w przypadku abelowym.

Rozważmy teraz przypadek ogólny. Niech będzie centrum , które jest podgrupą abelową. Jeśli dzieli , to zawiera element rzędu w przypadku grup abelowych. Możemy założyć, że nie dzieli rzędu . Ponieważ nie dzieli , to równanie klasy pokazuje, że istnieje co najmniej jedna klasa sprzężoności niecentralnego elementu, której rozmiar nie jest podzielny przez . Rozmiarem tym jest , więc dzieli rząd centralizatora  elementu w , który jest podgrupą właściwą, ponieważ nie jest centralny. Z założenia indukcyjnego podgrupa ta zawiera element rzędu , co kończy dowód.

Dowód 2[edytuj]

W tym dowodzie skorzystamy z faktu, że dla dowolnego działania w grupie (cyklicznej) rzędu , gdzie jest liczbą pierwszą, jedynymi możliwymi rozmiarami orbity są i co wynika z twierdzenia o orbitach i stabilizatorach. Nasza grupa cykliczna działa na zbiór  skończonych ciągów z o długości , których iloczyn daje element neutralny. Zbiór tych elementów jest jednoznacznie określony przez wszystkie jego składniki z wyjątkiem ostatniego, ostatni element musi być odwrotnością iloczynu poprzednich elementów. Widać także, że elementy mogą być dowolnie wybrane. Zatem zbiór ma  elementów, które są podzielne przez .

Z faktu, że jeśli , to także , wynika, że każda cykliczna permutacja wyrazów elementu z daje element zbioru . Można określić działanie w grupie cyklicznej rzędu na przez cykliczne permutacje składników. Innymi słowy, w  wybrany generator przypisuje .

W ramach tego działania orbity mogą mieć wielkość lub . Działo się tak dla uporządkowanego zbioru , dla którego . Zliczając elementy na orbitach i redukując modulo p, widzimy, że liczba elementów spełniających  jest podzielna przez . Ale jest jednym z takich elementów, więc musi być co najmniej innych rozwiązań dla i te rozwiązania są elementami rzędu . To kończy dowód.

Zastosowania[edytuj]

Natychmiastową konsekwencją twierdzenia Cauchy’ego jest charakteryzacja p-grup skończonych, gdzie jest liczbą pierwszą. W szczególności, skończona grupa jest p-grupą (czyli wszystkie jej elementy mają rząd dla dowolnej liczby naturalnej ) wtedy i tylko wtedy, gdy ma rząd dla dowolnej liczby naturalnej . Możemy skorzystać z przypadku abelowego twierdzenia Cauchy’ego w dowodzie indukcyjnym pierwszego twierdzenia Sylowa podobnie jak w pierwszym dowodzie powyżej, chociaż istnieją dowody, w których unikamy sprawdzania osobno specjalnego przypadku.