Twierdzenie Cauchy'ego (teoria grup)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ten artykuł dotyczy teorii grup. Zobacz też: inne twierdzenia Cauchy'ego.

Twierdzenie Cauchy'egotwierdzenie teorii grup, mówi ono, że jeśli G jest grupą skończoną i p jest liczbą pierwszą, będącą dzielnikiem rzędu grupy G (liczby elementów grupy G), to w G istnieje element rzędu p. Oznacza to, że istnieje x\in G taki, że dla najmniejszego niezerowego p zachodzi x^p=e, gdzie e jest elementem neutralnym.

Powyższe twierdzenie związane jest z twierdzeniem Lagrange’a, które mówi, że rząd dowolnej skończonej podgrupy grupy G dzieli rząd grupy G. Z twierdzenia Cauchy’ego wynika, że dla dowolnej liczby pierwszej p, będącej dzielnikiem rzędu G, istnieje podgrupa grupy G, której rzędem jest p i jest to grupa cykliczna.

Twierdzenie Cauchy’ego jest uogólnione przez pierwsze twierdzenie Sylowa, które zakłada, że jeśli p jest liczbą pierwszą, a p^n  jest dzielnikiem rzędu grupy G, to G ma podgrupę rzędu p^n.

Twierdzenie i dowód[edytuj]

Ukazało się wiele tekstów, w których twierdzenie dowodzone jest przez silną indukcję, przy użyciu równania klasy, niemniej w przypadku abelowym tak mocne narzędzia nie są konieczne. Można też odwołać się do działań grupy.

Twierdzenie: Niech G będzie grupą skończoną, a p liczbą pierwszą. Jeśli p dzieli rząd grupy G, to G ma element rzędu p.

Dowód 1[edytuj]

Na początku udowodnimy twierdzenie w przypadku szczególnym, gdzie G jest abelowa, a następnie zajmiemy się przypadkiem ogólnym. Oba przypadki udowodnimy przez indukcję względem n=|G|. Przypadek, gdzie n=p jest trywialny, ponieważ dowolny element (nie neutralny) ma rząd p. Przypuśćmy najpierw, że G jest abelowa. Weźmy dowolny element a, który generuje grupę cykliczną H. Jeśli p dzieli |H|, to {\textstyle a^{|H|/p}} jest elementem rzędu p. Jeśli p nie dzieli |H|, to dzieli rząd [G:H]grupy ilorazowej G/H, która z założenia indukcyjnego zawiera element rzędu p. Element ten jest warstwą xH dla x\in G. Jeśli m jest rzędem x\in G, to {\textstyle x^m=e} w Gdaje, że (xH)^m=eH w G/H, więc p dzieli m. Jak wcześniej, x^{m/p} jest elementem rzędu p w G, co kończy dowód w przypadku abelowym.

Rozważmy teraz przypadek ogólny. Niech Z będzie centrum G, które jest podgrupą abelową. Jeśli p dzieli |Z|, to Z zawiera element rzędu p w przypadku grup abelowych. Możemy założyć, że p nie dzieli rzędu Z. Ponieważ nie dzieli |G|, to równanie klasy pokazuje, że istnieje co najmniej jedna klasa sprzężoności niecentralnego elementu, której rozmiar nie jest podzielny przez p. Rozmiarem tym jest [G:C_G(a)], więc p dzieli rząd centralizatora C_G(a) elementu a w G, który jest podgrupą właściwą, ponieważ a nie jest centralny. Z założenia indukcyjnego podgrupa ta zawiera element rzędu p, co kończy dowód.

Dowód 2[edytuj]

W tym dowodzie skorzystamy z faktu, że dla dowolnego działania w grupie (cyklicznej) rzędu p, gdzie p jest liczbą pierwszą, jedynymi możliwymi rozmiarami orbity są 1 i p co wynika z twierdzenia o orbitach i stabilizatorach. Nasza grupa cykliczna działa na zbiór X=\{(x_1,\ldots,x_n)\in G^p: x_1x_2\ldots x_p=e\}  skończonych ciągów z G o długości p, których iloczyn daje element neutralny. Zbiór tych p elementów jest jednoznacznie określony przez wszystkie jego składniki z wyjątkiem ostatniego, ostatni element musi być odwrotnością iloczynu poprzednich elementów. Widać także, że p-1 elementy mogą być dowolnie wybrane. Zatem zbiór X ma |G|^{p-1} elementów, które są podzielne przez p.

Z faktu, że jeśli ab=e, to także ba=e, wynika, że każda cykliczna permutacja wyrazów elementu z X daje element zbioru X. Można określić działanie w grupie cyklicznej C_przędu p na X przez cykliczne permutacje składników. Innymi słowy, w C_p wybrany generator przypisuje (x_1,x_2,\ldots,x_p)\mapsto (x_2,\ldots,x_p,x_1).

W ramach tego działania orbity mogą mieć wielkość 1 lub p. Działo się tak dla uporządkowanego zbioru (x,x,\ldots,x), dla którego x^p=e. Zliczając elementy X na orbitach i redukując modulo p, widzimy, że liczba elementów spełniających x^p=e jest podzielna przez p. Ale x=e jest jednym z takich elementów, więc musi być co najmniej p-1innych rozwiązań dla x i te rozwiązania są elementami rzędu p. To kończy dowód.

Zastosowania[edytuj]

Natychmiastową konsekwencją twierdzenia Cauchy’ego jest charakteryzacja p-grup skończonych, gdzie p jest liczbą pierwszą. W szczególności, skończona grupa G jest p-grupą (czyli wszystkie jej elementy mają rząd p^k dla dowolnej liczby naturalnej k) wtedy i tylko wtedy, gdy G ma rząd p^n dla dowolnej liczby naturalnej n. Możemy skorzystać z przypadku abelowego twierdzenia Cauchy’ego w dowodzie indukcyjnym pierwszego twierdzenia Sylowa podobnie jak w pierwszym dowodzie powyżej, chociaż istnieją dowody, w których unikamy sprawdzania osobno specjalnego przypadku.