Twierdzenie Cauchy’ego (teoria grup)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Ten artykuł dotyczy teorii grup. Zobacz też: inne twierdzenia Cauchy’ego.

Twierdzenie Cauchy’egotwierdzenie teorii grup, mówi ono, że jeśli jest grupą skończoną i jest liczbą pierwszą, będącą dzielnikiem rzędu grupy (liczby elementów grupy ), to w istnieje element rzędu Oznacza to, że istnieje taki, że dla najmniejszego niezerowego zachodzi gdzie jest elementem neutralnym.

Powyższe twierdzenie związane jest z twierdzeniem Lagrange’a, które mówi, że rząd dowolnej skończonej podgrupy grupy dzieli rząd grupy Z twierdzenia Cauchy’ego wynika, że dla dowolnej liczby pierwszej będącej dzielnikiem rzędu istnieje podgrupa grupy której rzędem jest i jest to grupa cykliczna.

Twierdzenie Cauchy’ego jest uogólnione przez pierwsze twierdzenie Sylowa, które zakłada, że jeśli jest liczbą pierwszą, a jest dzielnikiem rzędu grupy to ma podgrupę rzędu

Twierdzenie i dowód[edytuj | edytuj kod]

Ukazało się wiele tekstów, w których twierdzenie dowodzone jest przez silną indukcję, przy użyciu równania klasy, niemniej w przypadku abelowym tak mocne narzędzia nie są konieczne. Można też odwołać się do działań grupy.

Twierdzenie: Niech będzie grupą skończoną, a liczbą pierwszą. Jeśli dzieli rząd grupy to ma element rzędu

Dowód 1[edytuj | edytuj kod]

Na początku udowodnimy twierdzenie w przypadku szczególnym, gdzie G jest abelowa, a następnie zajmiemy się przypadkiem ogólnym. Oba przypadki udowodnimy przez indukcję względem Przypadek, gdzie jest trywialny, ponieważ dowolny element (nie neutralny) ma rząd Przypuśćmy najpierw, że jest abelowa. Weźmy dowolny element który generuje grupę cykliczną Jeśli dzieli to jest elementem rzędu Jeśli nie dzieli to dzieli rząd grupy ilorazowej która z założenia indukcyjnego zawiera element rzędu Element ten jest warstwą dla Jeśli jest rzędem to w daje, że w więc dzieli Jak wcześniej, jest elementem rzędu w co kończy dowód w przypadku abelowym.

Rozważmy teraz przypadek ogólny. Niech będzie centrum które jest podgrupą abelową. Jeśli dzieli to zawiera element rzędu w przypadku grup abelowych. Możemy założyć, że nie dzieli rzędu Ponieważ nie dzieli to równanie klasy pokazuje, że istnieje co najmniej jedna klasa sprzężoności niecentralnego elementu, której rozmiar nie jest podzielny przez Rozmiarem tym jest więc dzieli rząd centralizatora elementu w który jest podgrupą właściwą, ponieważ nie jest centralny. Z założenia indukcyjnego podgrupa ta zawiera element rzędu co kończy dowód.

Dowód 2[edytuj | edytuj kod]

W tym dowodzie skorzystamy z faktu, że dla dowolnego działania w grupie (cyklicznej) rzędu gdzie jest liczbą pierwszą, jedynymi możliwymi rozmiarami orbity są i co wynika z twierdzenia o orbitach i stabilizatorach. Nasza grupa cykliczna działa na zbiór skończonych ciągów z o długości których iloczyn daje element neutralny. Zbiór tych elementów jest jednoznacznie określony przez wszystkie jego składniki z wyjątkiem ostatniego, ostatni element musi być odwrotnością iloczynu poprzednich elementów. Widać także, że elementy mogą być dowolnie wybrane. Zatem zbiór ma elementów, które są podzielne przez

Z faktu, że jeśli to także wynika, że każda cykliczna permutacja wyrazów elementu z daje element zbioru Można określić działanie w grupie cyklicznej rzędu na przez cykliczne permutacje składników. Innymi słowy, w wybrany generator przypisuje

W ramach tego działania orbity mogą mieć wielkość lub Działo się tak dla uporządkowanego zbioru dla którego Zliczając elementy na orbitach i redukując modulo p, widzimy, że liczba elementów spełniających jest podzielna przez Ale jest jednym z takich elementów, więc musi być co najmniej innych rozwiązań dla i te rozwiązania są elementami rzędu To kończy dowód.

Zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Natychmiastową konsekwencją twierdzenia Cauchy’ego jest charakteryzacja p-grup skończonych, gdzie jest liczbą pierwszą. W szczególności, skończona grupa jest p-grupą (czyli wszystkie jej elementy mają rząd dla dowolnej liczby naturalnej ) wtedy i tylko wtedy, gdy ma rząd dla dowolnej liczby naturalnej Możemy skorzystać z przypadku abelowego twierdzenia Cauchy’ego w dowodzie indukcyjnym pierwszego twierdzenia Sylowa podobnie jak w pierwszym dowodzie powyżej, chociaż istnieją dowody, w których unikamy sprawdzania osobno specjalnego przypadku.